Wat is het bereik van de functie f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))?

Antwoord:

Het bereik is 1, # Oo #)

Uitleg:

Wanneer ik voor het eerst naar dit probleem kijk, zou ik me concentreren op het domein. Het hebben van x onder een vierkantswortel resulteert meestal in een beperkt domein. Dit is belangrijk omdat als punten niet in het domein bestaan, we ervoor moeten zorgen dat we ze ook niet in het bereik opnemen!

Het domein voor #f (x) # is (-# Oo #, -#sqrt (1/2) #)# Uu #(#sqrt (1/2) #, # Oo #), zoals # 2x ^ 2 -1 # kan niet minder zijn dan #0# of het resulterende nummer is denkbeeldig.

Nu moeten we kijken naar het eindgedrag om te zien waar de functie naartoe gaat # Oo # en -# Oo # voor #X#. Wanneer we kijken naar eindgedrag, kunnen we kleinere details negeren die de algemene vorm van de functie niet beïnvloeden. Bij het beschrijven van eindgedrag, de functie #G (x) # wordt meestal gebruikt.

g (x) = # 5 ^ sqrt (x ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | x | #

En 'plug in' negatieve en positieve oneindigheid

g (-# Oo #) = # 5 ^ | -oo | #

g (# -Oo #) = # Oo #

g (# Oo #) = # 5 ^ | oo | #

g (# Oo #) = # Oo #

#f (x) # gaat beide kanten op naar positieve oneindigheid

Nu moeten we het minimum vinden dat de functie is. Onthoud dat #f (x) # is niet ononderbroken zoals we demostrated in zijn beperkte domein.

Sinds #f (x) # is een even functie (symmetrisch op de y-as) en # Y # neemt toe als de omvang van #X# doet, het minimum # Y # waarde zal worden gevonden waar #X# is het dichtst bij 0. In ons geval zal het -#sqrt (1/2) # of #sqrt (1/2) # vanwege het beperkte domein. Laat de stekker erin #sqrt (1/2) # om het minimum te vinden.

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (1/2) -1) #

f (#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

f (#sqrt (1/2) #) = #5^0#

f (#sqrt (1/2) #) = 1

Dus het bereik is 1, # Oo #)

Antwoord:

1, positieve oneindigheid)

Uitleg:

Wanneer ik deze functie in kaart breng (ik raad Desmos aan als u deze niet in een grafiek hebt staan), kunt u zien dat het laagste deel van de functie 1 raakt op de y-as en blijft positief tot oneindig. Een gemakkelijke manier om dit zonder een grafiek te vinden, is door te kijken of je beperkingen hebt in de vergelijking. Omdat er geen vierkante wortels van negatieve getallen zijn, weten we dat als we de exponent op 0 zetten, we de laagst mogelijke x-waarde kunnen vinden.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# X ^ 2 = 1/2 #

# X = sqrt (1/2) #

Nu we de domeinbeperking hebben, kunnen we dit gebruiken voor de oorspronkelijke vergelijking

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

#f (sqrt (1/2)) = 1 #

Nu hebben we vastgesteld dat de laagst mogelijke y-waarde 1 is, en er is geen beperking over hoe hoog de y-waarden kunnen zijn. Daarom is het bereik van positief 1 (inclusief) tot positief oneindig.