Een driehoek heeft hoeken op (4, 1), (2, 4) en (0, 2) #. Wat zijn de eindpunten van de middelloodlijnen van de driehoek?

Antwoord:

De makkelijke eindpunten zijn de middelpunten, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# en de moeilijkere zijn waar de bisectors de andere kanten ontmoeten, inclusief #(8/3,4/3).#

Uitleg:

Met de middelloodlijnen van een driehoek bedoelen we vermoedelijk de middelloodlijn van elke zijde van een driehoek. Dus er zijn drie middelloodlijnen voor elke driehoek.

Elke middelloodlijn is gedefinieerd om één kant in het middelpunt ervan te snijden. Het zal ook een van de andere kanten kruisen. We gaan ervan uit dat die twee ontmoetingen de eindpunten zijn.

De middelpunten zijn

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Dit is waarschijnlijk een goede plaats om meer te leren over parametrische representaties voor lijnen en lijnsegmenten. # T # is een parameter die kan variëren over de reals (voor een regel) of vanaf #0# naar #1# voor een lijnsegment.

Laten we de punten labelen #A (4,1) #, #B (2,4) # en #C (0,2) #. De drie kanten zijn:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Zoals # T # gaat van nul naar één die we aan elke kant volgen.

Laten we er één uit werken. # D # is het middelpunt van # BC #, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

De richtingsvector van C naar B is # B-C = (2,2) #. Voor de loodlijn keren we de twee coëfficiënten om (geen effect hier omdat ze beide zijn #2#) en negeer er een. Dus de parametrische vergelijking voor de loodlijn

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Andere regel, andere parameter.) We kunnen zien waar dit aan elk van de zijden voldoet.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # controleert of de middelloodlijn BC in het middelpunt ontmoet.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

aftrekken, # t = 2-3 = - 1 #

Dat is buiten het bereik zodat de middelloodlijn van BC de zijkant AB niet raakt.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

aftrekken, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Dat geeft het andere eindpunt als

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Dit wordt lang, dus ik laat de andere twee eindpunten aan jou over.