Wat is de snelheid van een deeltje voor t = 0 tot t = 10 wiens versnelling is veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Antwoord:

Gemiddelde snelheid: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"Mevrouw"#

Velocity op tijd #t = 0 # # "S" #: #0# #"Mevrouw"#

Velocity op #t = 10 # # "S" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # #"Mevrouw"#

Uitleg:

Ik neem aan dat je het meent gemiddelde snelheid van #t = 0 # naar #t = 10 # # "S" #.

We krijgen de componenten van de versnelling van het deeltje en gevraagd om de gemiddelde snelheid over de eerste te vinden #10# seconden van de beweging:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

waar

#v_ "av" # is de grootte van de gemiddelde snelheid, en
# Deltar # is de verandering in positie van het object (uit #0# # "S" # naar #10# # "S" #).

We moeten daarom de positie van het object op deze twee momenten vinden.

We moeten een positievergelijking afleiden uit deze versnellingsvergelijking, door deze te integreren twee maal:

Eerste integratie:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (snelheid)

Tweede integratie:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (positie)

De beginpositie wordt verondersteld aan de oorsprong te liggen, dus laten we aansluiten #10# voor # T # in de positievergelijking:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

We kunnen de gemiddelde snelheidsvergelijking vervolgens splitsen in componenten:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = kleur (rood) (250 # #color (rood) ("m / s" #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = kleur (blauw) (250/3 # #color (blauw) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = kleur (groen) (- 6000 # #color (groen) ("m / s" #

Met behulp van deze componenten kunnen we de magnitude van de gemiddelde snelheidsvector vinden:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2) #

# = kleur (paars) (6.01 xx 10 ^ 3 # #color (paars) ("m / s" #

(Hier is de ogenblikkelijk snelheidssectie).

Om de ogenblikkelijke snelheden te vinden op #t = 0 # en #t = 10 # # "S" #, laten we eerst deze tijden invoegen in de eerder geïntegreerde snelheidsvergelijking:

#t = 0 # # "S" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + 400 (0 "s")) hatk #

# = kleur (rood) (0 # #color (rood) ("m / s" #

#t = 10 # # "S" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s") ^ 2) hatj - (2 (10 "s") ^ 4 + 400 (10 "s")) hatk #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hatk #

De omvang van deze snelheid is dus

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2) #

# = kleur (blauw) (2.40 xx 10 ^ 4 # #color (blauw) ("m / s" #