Waarom kunnen we x ^ x niet integreren?

Antwoord:

We hebben er geen regel voor.

Uitleg:

In integralen hebben we standaardregels. De anti-kettingregel, anti-productregel, anti-machtsregel, enzovoort. Maar we hebben er geen voor een functie die een #X# in zowel de basis als de kracht. We kunnen de afgeleide ervan prima nemen, maar het integraal proberen te nemen is onmogelijk vanwege het gebrek aan regels waarmee het zou werken.

Als u Desmos Graphing Calculator opent, kunt u proberen in te pluggen

# int_0 ^ x a ^ ada #

en het zal het prima weergeven. Maar als u de anti-machtregel of anti-exponentregel probeert te gebruiken om ertegen te tekenen, ziet u dat het mislukt. Toen ik het probeerde te vinden (waar ik nog steeds aan werk), was mijn eerste stap om het weg te krijgen van dit formulier en in het volgende:

# Inte ^ (xln (x)) dx #

Dit stelt ons in wezen in staat om de regels van de calculus een beetje beter te gebruiken. Maar zelfs bij het gebruik van Integration by Parts, kom je nooit echt van de integraal af. Daarom krijg je eigenlijk geen functie om het te bepalen.

Maar zoals altijd in Math, is het leuk om te experimenteren.Dus ga je gang en probeer het, maar niet te lang of te hard, je zult in dit konijnenhol worden gezogen.

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

#y = x ^ x # kan worden geïntegreerd. Bijvoorbeeld

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

een ander ding is om nu een dag te hebben, een functie #f (x) # die in gesloten vorm de primitieve vertegenwoordigt voor # X ^ x # of met andere woorden, zodanig dat

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Als dit een functie zou zijn van algemeen gebruik bij technisch-wetenschappelijke problemen, zouden we zeker een gedifferentieerde naam en symbool hebben bedacht om het te manipuleren. Zoals de Lambert-functie gedefinieerd als

#W (x) = x e ^ x #

Antwoord:

Zie onder.

Uitleg:

Zoals Cesareo heeft aangegeven (zonder te zeggen), is er een zekere dubbelzinnigheid in "we can not integreren".

De functie #f (x) = x ^ x # is continu ingeschakeld # (0, oo) #

en verder # 0, oo) # als we maken #f (0) = 1 #dus laten we dat doen. Daarom is de definitieve integraal

# int_a ^ b x ^ x dx # bestaat voor iedereen # 0 <= a <= b #

Verder vertelt de fundamentele stelling van calulus ons dat de functie # int_0 ^ x t ^ t dt # heeft een derivaat # X ^ x # voor #x> = 0 #

Wat we niet kunnen doen is deze functie uitdrukken in een mooie, eindige, gesloten vorm van algebraïsche uitdrukkingen (of zelfs welbekende transcendentale functies).

Er zijn veel dingen in de wiskunde die niet kunnen worden uitgedrukt, behalve in een vorm die achtereenvolgende betere benaderingen mogelijk maakt.

Bijvoorbeeld:

Het nummer waarvan het vierkant is #2# kan niet worden uitgedrukt in decimale of fractionele vorm met behulp van een eindige expressie. Dus we geven het een symbool, # Sqrt2 # en benader dit tot elk gewenst nauwkeurigheidsniveau.

De verhouding van de omtrek tot de diameter van een cirkel kan niet eindig worden uitgedrukt met een eindige algebraïsche combinatie van hele getallen, dus we geven het een naam, #pi# en benader dit tot elk gewenst nauwkeurigheidsniveau.

De oplossing voor # X = cosx # kan ook worden benaderd met elke gewenste mate van nauwkeurigheid, maar kan niet volledig worden uitgedrukt. Dit nummer is (misschien) niet belangrijk genoeg om een naam te krijgen.

Zoals Cesareo heeft gezegd, als de integraal van # X ^ x # had veel toepassingen, wiskundigen zouden er een naam voor aannemen.

Maar berekeningen zouden nog steeds een oneindige benadering vereisen.