De verhouding van twee positieve reële getallen is p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2) en vinden dan hun verhouding van AM en GM?

Antwoord:

# p / q #.

Uitleg:

Laat de nummers. worden #x en y, "where, x, y" in RR ^ + #.

Door wat is gegeven, #x: y = (p + sqrt (p ^ 2 ^ q-2)):(p-sqrt (p ^ 2 ^ q-2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "zeg" #.

#:. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) en y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Nu de AM #EEN# van # X, y # is, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, en hun

GM # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 ^ p {2- (p-q ^ 2 ^ 2)} = lambdaq #.

Duidelijk, # "de gewenste verhouding" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

Antwoord:

# P / q #

Uitleg:

Ik ga dezelfde notatie gebruiken als in dit antwoord. In feite is er geen echte noodzaak voor deze oplossing (aangezien het probleem al behoorlijk goed is opgelost), behalve dat het het gebruik van een techniek illustreert waar ik erg veel van houd!

Volgens het probleem

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p - sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

Met behulp van componendo en dividendo (dit is de favoriete techniek waarop ik hierboven heb gezinspeeld) krijgen we

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) duidt op #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) duidt op #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) impliceert #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 impliceert #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• wat de vereiste AM: GM-verhouding is.