Antwoord:
Beginnen met
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
Laten we de secant vervangen door een cosinus.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Nu nemen we de afgeleide wrt x aan BEIDE ZIJDEN!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
De afgeleide van een constante is nul en de afgeleide is lineair!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Nu gebruiken we de productregel alleen voor de eerste twee voorwaarden die we krijgen!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Volgende heel veel plezier met de kettingregel! Bekijk de laatste term!
(ook de eenvoudige x-derivaten doen)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Sommige van die y-derivaten, xy-derivaten en cos (xy) -derivaten doen ook de productregel en kettingregel nog een keer op het laatste deel van de laatste term.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Een beetje opgesierd en alle afgeleiden afmaken
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Nu scheiden in term met # Dx / dy # en zonder
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Breng alles zonder # Dy / dx # aan de ene kant en verzameling-achtige termen aan de andere
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Deel echter door om te vinden # Dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
Dat was erg lang!
Uitleg:
Ging met een ZEER lange uitleg met eenvoudig voorbeeld omdat impliciete differentiatie lastig kan zijn en de kettingregel heel erg belangrijk is.
U moet ongeveer drie BIG Calculus-regels gebruiken om dit en drie specifieke functie-afgeleide op te lossen.
1) De lineariteit van het derivaat.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) De productregel.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) Verreweg het belangrijkste concept in impliciete differentiatie is
de kettingregel. Voor samengestelde functies, functies van andere functies, #f (u (x)) # wij hebben, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Je kunt hiermee doorgaan
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, en door en door en door. Notitie # Dx / dx = 1 #.
Voorbeeld: als u een functie van een functie hebt #f (u) # waar # U # is een functie van #X#. d.w.z #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Hier #f (u) = sqrt (u) # en #u (x) = x ^ 1-2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # terugroepen # U = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Uitdrukkingen voor specifieke functietypen.
A) Hoe de afgeleide van machtsfuncties te nemen, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Hoe de afgeleide van te nemen # E ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- saai eh?
C) Hoe de afgeleide van te nemen # cos (x) # omdat # sec (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
De sleutel tot impliciete differentiatie is om de kettingregel te gebruiken om de afgeleide te nemen van en de functie van zowel x als y, zoals een cirkel.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2j * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
