Antwoord:
# -Xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Uitleg:
Begin met het gebruik van de somregel voor integralen en deze te splitsen in twee afzonderlijke integralen:
# Intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
De eerste van deze mini-integralen is opgelost met behulp van integratie door delen:
Laat # U = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# Dv = e ^ (2-x) DX> intdv = inte ^ (2-x) DX> v = -e ^ (2-x) #
Nu met behulp van de integratie door delen formule # Intudv = uv-intvdu #, wij hebben:
# Intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (x-2) -e ^ (2-x) #
De tweede hiervan is een geval van de omgekeerde machtsregel, waarin staat:
# INTX ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Zo # Int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
daarom # Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (vergeet niet om de constante van integratie toe te voegen!)
We krijgen de beginvoorwaarde #f (0) = 1 #, dus:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Als we deze laatste vervanging maken, krijgen we onze definitieve oplossing:
# Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
