Wat wordt bedoeld met de limiet van een oneindige reeks?

De limiet van een oneindige reeks vertelt ons over het gedrag op lange termijn ervan.

Gegeven een reeks van echte cijfers #een#, het is limiet #lim_ (n to oo) a_n = lim a_n # wordt gedefinieerd als de enkele waarde die de reeks nadert (als deze een waarde benadert) terwijl we de index maken # N # groter. De limiet van een reeks bestaat niet altijd. Als dat zo is, is de volgorde gezegd convergerend, anders zou het zo zijn afwijkend.

Twee eenvoudige voorbeelden:

Overweeg de volgorde # 1 / n #. Het is gemakkelijk om te zien dat het de limiet is #0#. In feite gegeven een positieve waarde dichtbij #0#, we kunnen altijd een voldoende goede waarde vinden van # N # zoals dat # 1 / n # is minder dan deze gegeven waarde, wat betekent dat de limiet kleiner of gelijk aan nul moet zijn. Bovendien is elke term van de reeks groter dan nul, dus de limiet moet groter of gelijk zijn aan nul. Daarom is het #0#.
Neem de constante volgorde aan #1#. Dat wil zeggen, voor elke gegeven waarde van # N #, de voorwaarde #een# van de reeks is gelijk aan #1#. Het is duidelijk dat het niet uitmaakt hoe groot we zijn # N # de waarde van de reeks is #1#. Dus het is limiet #1#.

Voor een meer rigoureuze definitie, laat #een# een reeks van echte getallen zijn (dat wil zeggen, #voorall n in NN: a_n in RR #) en #epsilon in RR #. Dan het nummer #een# wordt gezegd dat het de begrenzing van de reeks #een# als en alleen als:

#voorall epsilon> 0 bestaat uit N in NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Deze definitie komt overeen met de hierboven gegeven informele definitie, behalve dat we geen uniciteit voor de limiet hoeven op te leggen (deze kan worden afgeleid).

De eerste en tweede termen van een geometrische reeks zijn respectievelijk de eerste en derde termen van een lineaire reeks. De vierde term van de lineaire reeks is 10 en de som van de eerste vijf term is 60 Vind de eerste vijf termen van de lineaire reeks?

{16, 14, 12, 10, 8} Een typische geometrische reeks kan worden weergegeven als c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k en een typische rekenkundige rij als c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Calling c_0 a als het eerste element voor de geometrische reeks die we hebben {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Eerste en tweede van GS zijn de eerste en derde van een LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "De vierde term van de lineaire reeks is 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "De som van de eerste vijf term is 60"):} Oplossen voor c_0, a, Delta we verkrijgen c_0 = 64/3 , a = 3/4, Delta = -2 en

Kunt u de limiet van de reeks vinden of vaststellen dat de limiet niet bestaat voor de reeks {n ^ 4 / (n ^ 5 + 1)}?

De reeks heeft hetzelfde gedrag als n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n wanneer n groot is. Je zou de uitdrukking net een beetje moeten manipuleren om die uitspraak hierboven duidelijk te maken. Verdeel alle termen door n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Al deze limieten bestaan wanneer n-> oo, dus we hebben: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, dus de reeks neigt naar 0

Wat is het verschil tussen een oneindige reeks en een oneindige reeks?

Een oneindige reeks getallen is een geordende lijst met getallen met een oneindig aantal getallen. Een oneindige reeks kan worden beschouwd als de som van een oneindige reeks.