Als a ^ 3 + b ^ 3 = 8 en a ^ 2 + b ^ 2 = 4 wat is de waarde van (a + b)?

Antwoord:

Er zijn twee mogelijke waarden voor de som, # A + b = 2 # (voor # A = 2 # en # B = 0 #) of # A + b = -4 # (voor # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Uitleg:

Er zijn echt twee onbekenden, de som en het product van #een# en # B # dus laat #x = a + b # en #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Twee vergelijkingen in twee onbekenden, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Dat wordt een depressieve kubus genoemd, en die hebben een redelijk gemakkelijke gesloten-vorm-oplossing zoals de kwadratische formule. Maar in plaats van dat aan te raken, laten we een wortel raden volgens de aloude methode om kleine getallen uit te proberen. Wij zien # X = 2 # werkt zo # (X-2) # is een factor.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

We kunnen nu verder meewerken

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Dus er zijn twee mogelijke waarden voor de som, # A + b = 2 # en # A + b = -4. #

Het eerste antwoord komt overeen met de echte oplossing # a = 2, b = 0 # en door symmetrie # a = 0, b = 2 #. Het tweede antwoord komt overeen met de som van een paar complexe conjugaten. Zij zijn # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. Kun je deze oplossing controleren?

Antwoord:

# (a + b) = 2, of, a + b = -4 #

Uitleg:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (A + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2 ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => Ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Nu,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (A + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (A + b) (4-ab) = 8 #

# => (A + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (A + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Laat,

# (A + b) = x #

Zo, # => X (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => X (12-x ^ 2) = 16 #

# => X ^ 3-12x + 16 = 0 #

Observeer dat #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (X-2) # is een factor.

Nu, # X ^ 3-12x + 16 ul = (x ^ 2 ^ 3-2x) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = X ^ 2 (x-2) + 2 x (x-2) -8 (x-2) #, # = (X-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (X-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, of, x = -4 #.

#:. a + b = 2, of, a + b = -4 #.

Grafiek wordt hier gegeven.

De waarde van #color (rood) ((a + b) = 2, of, -4. #

Hoop dat het helpt…

Dank je…