Laat 5a + 12b en 12a + 5b de zijlengte zijn van een rechthoekige driehoek en 13a + kb zijn de hypotenusa, waarbij a, b en k positieve gehele getallen zijn. Hoe vind je de kleinst mogelijke waarde van k en de kleinste waarden van a en b voor die k?

Antwoord:

#k = 10 #, # A = 69 #, # B = 20 #

Uitleg:

Volgens de stelling van Pythagoras hebben we:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Dat is:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (wit) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Trek de linkerkant van beide kanten af om het volgende te vinden:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (wit) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Sinds #b> 0 # hebben we nodig:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Sindsdien #a, b> 0 # hebben we nodig # (240-26k) # en # (169-k ^ 2) # om tegengestelde tekens te hebben.

Wanneer #k in 1, 9 # beide # 240-26k # en # 169-k ^ 2 # zijn positief.

Wanneer #k in 10, 12 # we vinden # 240-26k <0 # en # 169-k ^ 2> 0 # zoals gevraagd.

Dus de minimaal mogelijke waarde van # K # is #10#.

Dan:

# -20a + 69b = 0 #

Sindsdien #20# en #69# hebben geen gemeenschappelijke factor groter dan #1#, de minimumwaarden van #een# en # B # zijn #69# en #20# respectievelijk.