Onderscheid je van het eerste principe x ^ 2sin (x)?

Antwoord:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # van de definitie van het derivaat en het nemen van een aantal limieten.

Uitleg:

Laat #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Dan

# (df) / dx = lim_ {h to 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h tot 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

door een trigonometrische identiteit en enkele vereenvoudigingen. Op deze laatste vier regels hebben we vier termen.

De eerste termijn is gelijk aan 0, sinds

#lim_ {h tot 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, welke kan worden gezien b.v. van Taylor-uitbreiding of de regel van L'Hospital.

De Vierde termijn verdwijnt ook omdat

#lim_ {h tot 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h tot 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Nu de tweede semester vereenvoudigt tot

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h to 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, sinds

#lim_ {h tot 0} (sin (h)) / h = 1 #, zoals hier getoond, of b.v. De regel van L'Hospital (zie hieronder).

De derde termijn vereenvoudigt tot

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h to 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

welke daarna toevoegen aan de tweede term geeft dat

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Opmerking: sinds de regel van L'Hospital # lim_ {h to 0} sin (h) = 0 # en # lim_ {h tot 0} h = 0 # en beide functies zijn rond te differentiëren # H = 0 #, we hebben dat

# lim_ {h tot 0} sin (h) / h = lim_ {h to 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h tot 0} cos (h) = 1 #.

De grens # lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # kan op dezelfde manier worden getoond.