Hoe zou je de vergelijking van de cirkel bepalen die door de punten D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15) gaat?

Antwoord:

Vervang elk punt door de vergelijking van de cirkel, ontwikkel 3 vergelijkingen en haal diegenen af die minstens één coördinaat gemeenschappelijk hebben (#X# of # Y #).

Antwoord is:

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Uitleg:

De vergelijking van de cirkel:

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Waar #α# #β# zijn de coördinaten van het middelpunt van de cirkel.

Plaatsvervanger voor elk gegeven punt:

Punt D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Vergelijking 1)

Punt E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Vergelijking 2)

Punt F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Vergelijking 3)

Vergelijk vergelijkingen #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Vergelijk vergelijkingen #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Dat #α# en #β# zijn bekend, vervang ze in een van de punten (we zullen punt gebruiken #D (-5, -5) #):

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Dus de vergelijking van de cirkel wordt:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Antwoord:

De vergelijking van de cirkel is # (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Uitleg:

Eerst moeten we de vergelijking van twee lijnen vinden, elk loodrecht op de segmenten gevormd door een paar van de gegeven punten en door het middelpunt van dit paar punten.

Sinds de punten D en E (# X_D = x_E = -5 #) zijn in een lijn evenwijdig aan de as-Y (# X = 0 #) en de punten E en F (# Ÿ_ê = y_F = 15 #) zijn in een lijn evenwijdig aan de as-X (# Y = 0 #) is het handig om deze paren punten te kiezen.

Vergelijking van lijn DE, waar # X_D = x_E = -5 #

# X = -5 #

Vergelijking van lijn 1 loodrecht op DE en passerend middelpunt #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

lijn 1# -> y = 5 #

Vergelijking van lijn EF, waar # Ÿ_ê = y_F = 15 #

# Y = 15 #

Vergelijking van lijn 2 loodrecht op EF en doorgaand middelpunt #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

lijn 2# -> x = 5 #

Vergelijkingen van lijnen 1 en 2 combineren (# Y = 5 # en # X = 5 #) vinden we het midden van de cirkel, punt C

#C (5,5) #

De afstand tussen punt C tot een gegeven punt is gelijk aan de straal van de cirkel

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

In de formule van de vergelijking van de cirkel:

# (X-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #