Bewijs het volgende?

Antwoord:

Kijk hieronder.

Uitleg:

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2-1) dx> 0 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (1) dx # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> x _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 2-1 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 #

We moeten dat bewijzen

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 #

Overweeg een functie #f (x) = x ^ e-lnx #, #x> 0 #

Uit de grafiek van # C_f # dat kunnen we opmerken #x> 0 #

wij hebben # E ^ x-lnx> 2 #

Uitleg:

#f (x) = x ^ e-lnx #, #X##in##1/2,1#

#f '(x) = e ^ x-1 / x #

#f (1/2) = sqrte-2 <0 #

#f '(1) = e-1> 0 #

Volgens de stelling van Bolzano (tussenliggende waarde) die we hebben #f (x_0) = 0 # #<=># # E ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# E ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # X_0 = -lnx_0 #

De verticale afstand is tussen # E ^ x # en # Lnx # is minimum wanneer #f (x_0) = e ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

We moeten dat laten zien #f (x)> 2 #, # AAx ##>0#

#f (x)> 2 # #<=># # X_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# X_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (X_0-1) ^ 2> 0 # #-># waar voor #x> 0 #

grafiek {e ^ x-lnx -6.96, 7.09, -1.6, 5.42}

# (E ^ x-lnx) / x ^ 2> 2 / x ^ 2 #

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (2 / x ^ 2) dx # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> - 2 / x _1 ^ 2 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> ##-1+2# #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2-1) dx> 0 #