Antwoord:
#3#
Uitleg:
Laat
# X = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
waarbij we onze oplossing als positief beschouwen, omdat we alleen de positieve vierkantswortel nemen, d.w.z. #x> = 0 #. Vierkanten kwadreren die we hebben
# X ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Waar we deze keer de linkerzijde beperken om positief te zijn, omdat we alleen de positieve vierkantswortel willen, d.w.z.
# X ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
waar we de mogelijkheid hebben geëlimineerd het #X <= - sqrt (7) # met behulp van onze eerste beperking.
Opnieuw vierkant aan beide kanten die we hebben
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
De uitdrukking in de herhaalde vierkantswortels is de oorspronkelijke uitdrukking voor #X#, daarom
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
of
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Proefoplossingen van deze vergelijking zijn # X = -2 # en # = X + 3 # wat resulteert in de volgende ontbinding
# (X + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Met behulp van de kwadratische formule op de derde factor # (X ^ 2 + x-7) = 0 # geeft ons nog twee wortels:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 "en" -3.19 #
De vier wortels van het polynoom zijn daarom #-3.19…, -2, 2.19…, # en #3#. Slechts een van deze waarden voldoet aan onze beperking #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #, daarom
# X = 3 #
Antwoord:
Een andere manier
Uitleg:
Ik wil graag een lastige manier bespreken om een oplossing in één oogopslag te vinden voor het probleem van herhaalde vierkantswortels, zoals de volgende
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
waar # r # behoort tot de volgende reeks
#3,7,13,21,31…………#, waarvan de algemene looptijd wordt gegeven door
# M ^ 2-m + 1 # waar # m epsilon N # en #m> 1 #
TRUC
Als 1 wordt afgetrokken van het gegeven nummer # M ^ 2-m + 1 # het resulterende getal wordt # M ^ 2-m # welke is # m (m-1) # en die niets anders is dan het product van twee opeenvolgende nummers en een grotere van deze twee zal de unieke oplossing van het probleem zijn.
wanneer r = # M ^ 2-m + 1 # de factor van # M ^ 2-m + 1/1 # = # (M-1) m # en m is het antwoord
wanneer r = 3 is de factor van (3-1) = 2 = 1,2 en 2 is het antwoord
wanneer r = 7 is de factor van (7-1) = 6 = 2,3 en 3 is het antwoord
enzovoorts…….
Uitleg
Nemen
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Aan beide kanten kwadreren
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Opnieuw Vierkant aan beide zijden
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
zetten r = # M ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
als we x = m in de LHS van deze vergelijking plaatsen, wordt de LHS
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (annuleer (m ^ 2) - annuleer (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (M-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
de vergelijking is voldaan.
Vandaar dat m het antwoord is
laten we
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #
Dat kunnen we gemakkelijk zien
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Dus laten we de vergelijking oplossen:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Dit is geen triviale vergelijking die moet worden opgelost. Een van de andere personen die de vraag heeft beantwoord, verwijst naar de oplossing 3. Als je het probeert, zie je dat het waar is.
