Hoe vind je de asymptoten voor y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Antwoord:

Verticaal

# X = 1 #

# X = 3 #

Horizontaal

# X = 1 # (voor beide # + - oo #)

Schuin

Besta niet

Uitleg:

Laat # Y = f (x) #

• Verticale asymptoten

Vind de grenzen van de functie aangezien deze de grenzen van zijn domein overschrijdt, behalve oneindig. Als hun resultaat oneindig is, dan dat #X# regel is een asymptoot. Hier is het domein:

#x in (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Dus de 4 mogelijk verticale asymptoten zijn:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asymptote # X-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Verticale asymptoot voor # X = 1 #

Opmerking: voor # X-1 # sinds #X# is iets lager dan 1, het resultaat is iets lager dan 0, dus het teken is negatief, vandaar de notitie #0^-# wat zich later vertaalt naar een negatief teken.

Bevestiging voor asymptoot # X-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # bevestigd

Asymptote # X-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Verticale asymptoot voor # X = 3 #

Bevestiging voor asymptoot # X-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = ^ 2 3 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # bevestigd

• Horizontale asymptoten

Zoek beide limieten op zoals de functie neigt # + - oo #

Minieme oneindigheid #X -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (annuleren (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (annuleren (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horizontale asymptoot voor # Y = 1 #

Plus oneindig #X -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (annuleren (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (annuleren (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horizontale asymptoot voor # Y = 1 #

Let op: het gebeurt gewoon zo dat deze functie voor allebei een gemeenschappelijke horizontaal heeft # -Oo # en # + Oo #. Je moet altijd beide controleren.

• Schuine asymptoten

U moet eerst beide limieten vinden:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Voor elk geldt dat als deze limiet een reëel getal is, de asymptoot bestaat en de limiet de helling is. De # Y # onderscheppen van elk is de limiet:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Om ons echter de moeite te besparen, kunt u een of andere functie "kennis" gebruiken om dit te voorkomen. Omdat we het weten #f (x) # heeft een horizontale asymptoot voor beide # + - oo # de enige manier om een schuine lijn te hebben, is om een andere regel te hebben #X -> + - oo #. Echter, #f (x) # is een #1-1# functie, dus er kunnen er geen twee zijn # Y # waarden voor één #X#Daarom is een tweede regel onmogelijk, dus het is onmogelijk om scheve asymptoten te hebben.