Stel dat ik geen formule voor g (x) heb, maar ik weet dat g (1) = 3 en g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) voor alle x. Hoe gebruik ik een lineaire benadering om g (0.9) en g (1.1) te schatten?

Houd een beetje bij me, maar het gaat om de helling-intercept vergelijking van een lijn op basis van de eerste afgeleide … En ik zou je graag willen leiden naar de weg naar do het antwoord, niet alleen geven jij het antwoord …

Oké, voordat ik het antwoord krijg, zal ik je op de (enigszins) humoristische discussie toelaten mijn kantoormaat en ik had net …

Ik: "Oké, waitasec … Je weet g (x) niet, maar je weet dat de afgeleide waar is voor iedereen (x) … Waarom wil je een lineaire interpretatie doen op basis van de afgeleide? de integraal van de afgeleide, en je hebt de originele formule … toch?"

OM: "Wacht, wat?" hij leest de vraag hierboven "Heilige moly, ik heb dit al jaren niet gedaan!"

Dus dit leidde tot een discussie tussen ons over hoe dit te integreren, maar wat de professor echt wil (waarschijnlijk) is niet om je de omgekeerde operatie te laten doen (die in sommige gevallen mogelijk is) werkelijk HARD), maar om te begrijpen wat het eerste derivaat is dat eigenlijk.

Dus we krabden ons hoofd en piekerden door onze collectieve herinneringen aan het ouder worden, en kwamen uiteindelijk overeen dat het 2e derivaat de lokale maxima / minima is, en de eerste afgeleide (degene waar je om geeft) is de helling van de curve op het gegeven punt.

Wat heeft dit te maken met de prijs van wormen in Mexico? Nou, als we ervan uitgaan dat de helling relatief constant blijft voor alle "nabijgelegen" punten (om dit te weten, moet je naar de curve kijken en gezond verstand gebruiken op basis van wat je weet over dingen - maar omdat dit is wat je prof is wil, dit is wat hij krijgt!), dan kunnen we een lineaire interpolatie doen - en dat is precies wat je vroeg!

Oké dan, het vlees van het antwoord:

De helling (m) van de functie op onze bekende waarde is:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Daarom is de helling op het bekende punt (x = 1):

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Onthoud dan dat de formule voor een regel (nodig voor lineaire interpolatie) is:

# Y = mx + b #

Dit betekent dat voor punten die "dicht" zijn bij onze bekende waarde, we de waarden kunnen benaderen als zijnde op een lijn met helling m en y-snijpunt b. of:

#G (x) = mx + b #

#G (x) = 4x + b #

Dus, wat is dat dan # B #?

We lossen dit op met onze bekende waarde:

#G (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# B = -1 #

Nu kennen we de formule voor de lijn die onze curve benadert op het bekende punt:

g (x#~=#1) = 4x-1

Dus nee, we voegen onze benaderingspunten in om de geschatte waarde te krijgen, of:

#G (0,9) = 4 ~ (0,9) -1 #

#G (0,9) = 3,6-1 ~ #

#G (0,9) = 2,6 ~ #

en

#G (1,1) = 4 ~ (1,1) -1 #

#G (1,1) = 4,4-1 ~ #

#G (1.1) ~ = 3,4 #

Makkelijk, toch?