Hoe gebruik je de stelling van demoivre om te vereenvoudigen (1-i) ^ 12?

Antwoord:

#-64#

Uitleg:

#z = 1 - i # bevindt zich in het vierde kwadrant van het argand-diagram. Belangrijk om op te letten wanneer we het argument vinden.

#r = sqrt (1 ^ 2 + (-1) ^ 2) = sqrt (2) #

#theta = 2pi - tan ^ (- 1) (1) = (7pi) / 4 = -pi / 4 #

#z = r (costheta + isintheta) #

# z ^ n = r ^ n (cosntheta + isinntheta) #

# z ^ 12 = (sqrt (2)) ^ 12 (cos (-12pi / 4) + isin (-12pi / 4)) #

# z ^ 12 = 2 ^ (1/2 * 12) (cos (-3pi) + isin (-3pi)) #

# z ^ 12 = 2 ^ 6 (cos (3pi) - isin (3pi)) #

#cos (3pi) = cos (pi) = -1 #

#sin (3pi) = sin (pi) = 0 #

# z ^ 12 = -2 ^ 6 = -64 #

Hoe de DeMoivre-stelling te gebruiken om de aangegeven macht van (sqrt 3 - i) ^ 6 te vinden?

-64 sqrt (3) - i = 2 (sqrt (3) / 2 - i / 2) = 2 (cos (-30 °) + i * sin (-30 °)) = 2 * e ^ (- i * pi / 6) => (sqrt (3) - i) ^ 6 = (2 * e ^ (- i * pi / 6)) ^ 6 = 64 * e ^ (- i * pi) = 64 * (cos ( -180 °) + i * sin (-180 °)) = 64 * (- 1 + i * 0) = -64

Gebruik DeMoivre's stelling om de twaalfde (12e) kracht van het complexe getal te vinden en schrijf het resultaat in standaardvorm?

(2 [cos ( frac { pi} {2}) + i sin ( frac { pi} {2})]) ^ {12} = 4096 Ik denk dat de vragensteller vraagt om (2 [cos ( frac { pi} {2}) + i sin ( frac { pi} {2})]) ^ {12} met DeMoivre. (2 [cos ( frac { pi} {2}) + i sin ( frac { pi} {2})]) ^ {12} = 2 ^ {12} (cos (pi / 2) + i sin (pi / 2)) ^ 12 = 2 ^ {12} (cos (6 pi) + i sin (6pi)) = 2 ^ 12 (1 + 0 i) = 4096 Controle: we hebben DeMoivre niet echt nodig voor deze: cos (pi / 2) + i sin (pi / 2) = 0 + 1i = ii ^ 12 = (i ^ 4) ^ 3 = 1 ^ 3 = 1 dus we blijven achter met 2 ^ {12 }.

Hoe gebruik je DeMoivre's stelling om te vereenvoudigen (5 (cos (pi / 9) + isin (pi / 9))) ^ 3?

= 125 (1/2 + (sqrt (3)) / 2i) Kon ook schrijven als 125e ^ ((ipi) / 3) met behulp van de formule van Euler als u dat wenst. De Moivre's stelling stelt dat voor complex getal z = r (costheta + isintheta) z ^ n = r ^ n (cosntheta + isinntheta) Dus hier, z = 5 (cos (pi / 9) + isin (pi / 9)) z ^ 3 = 5 ^ 3 (cos (pi / 3) + isin (pi / 3)) = 125 (1/2 + (sqrt (3)) / 2i)