De straal van een bolvormige ballon neemt toe met een snelheid van 2 centimeter per minuut. Hoe snel is het volume aan het veranderen als de radius 14 centimeter is?

Antwoord:

# 1568 * pi # cc / min

Uitleg:

Als de straal r is, dan is de mate van verandering van r ten opzichte van tijdstip t, # d / dt (r) = 2 # cm / minuut

Volume als een functie van straal r voor een bolvormig object is

#V (r) = 4/3 * pi * r ^ 3 #

We moeten vinden # D / dt (V) # op r = 14cm

Nu, # d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) #

Maar # D / dt (r) # = 2 cm / minuut. Dus, # D / dt (V) # bij r = 14 cm is:

# 4pi * 14 ^ 2 * 2 # kubieke cm / minuut # = 1568 * pi # cc / min

De straal van een bolvormige ballon neemt toe met 5 cm / sec. In welk tempo wordt lucht in de ballon geblazen op het moment dat de straal 13 cm is?

Dit probleem is Related Rates (of change). De snelheid waarmee lucht wordt ingeblazen, wordt gemeten in volume per tijdseenheid. Dat is een tempo van verandering van volume met betrekking tot tijd. De snelheid waarmee lucht wordt ingeblazen is gelijk aan de snelheid waarmee het volume van de ballon toeneemt. V = 4/3 pi r ^ 3 We weten (dr) / (dt) = 5 "cm / sec". We willen (dV) / (dt) wanneer r = 13 "cm". Onderscheid V = 4/3 pi r ^ 3 impliciet met betrekking tot td / (dt) (V) = d / (dt) (4/3 pi r ^ 3) (dV) / (dt) = 4/3 pi * 3r ^ 2 (dr) / (dt) = 4 pi r ^ 2 (dr) / (dt) Plug in wat je weet en los op wat je n

Het volume van een kubus neemt toe met een snelheid van 20 kubieke centimeter per seconde. Hoe snel, in vierkante centimeters per seconde, neemt het oppervlak van de kubus toe op het moment dat elke rand van de kubus 10 centimeter lang is?

Bedenk dat de rand van de kubus varieert met de tijd, dus dat is een functie van tijd l (t); zo:

Water dat lekt op een vloer vormt een cirkelvormig zwembad. De straal van het zwembad neemt toe met een snelheid van 4 cm / min. Hoe snel neemt het oppervlak van het zwembad toe als de straal 5 cm is?

40pi "cm" ^ 2 "/ min" Eerst moeten we beginnen met een vergelijking die we kennen met betrekking tot het gebied van een cirkel, het zwembad en de straal: A = pir ^ 2 We willen echter zien hoe snel het gebied van het zwembad neemt toe, wat veel op snelheid lijkt ... wat veel lijkt op een afgeleide. Als we de afgeleide van A = pir ^ 2 nemen met betrekking tot tijd, t, dan zien we dat: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Vergeet niet dat de kettingregel rechts van toepassing is handzijde, met r ^ 2 - dit is vergelijkbaar met impliciete differentiatie.) Dus, we willen (dA) / dt bepalen. De vraag vertelde ons d