Wat is de vertex-vorm van 7y = - 13x ^ 2 -15x + 2?

Antwoord:

# Y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Uitleg:

Breng eerst de vergelijking in zijn typische vorm door beide kanten te verdelen #7#.

# Y = -13 / 7x ^ 2-15 / 7x + 2/7 #

Nu willen we dit in een vertex-vorm krijgen:

# Y = a (x-h) ^ 2 + k #

Ten eerste, factor de #-13/7# van de eerste twee voorwaarden. Merk op dat factoring een #-13/7# van een term is hetzelfde als het vermenigvuldigen van de term met #-7/13#.

# Y = -13 / 7 (x ^ 2 + 15 / 13x) + 2/7 #

Nu willen we dat de term tussen haakjes een perfect vierkant is. Perfecte vierkanten komen in het patroon # (X + a) ^ 2 = x ^ 2 + H2ax + a ^ 2 #.

Hier, de middellange termijn # 15 / 13x # is de middellange termijn van de perfecte trinominale vierkant, # 2AX #. Als we willen bepalen wat #een# is, verdelen # 15 / 13x # door # 2x # om dat te zien # A = 15/26 #.

Dit betekent dat we de ontbrekende term tussen haakjes willen plaatsen om de groep gelijk te maken # (X + 15/26) ^ 2 #.

# Y = -13 / 7overbrace ((x ^ 2 + 15 / + 13x?)) ^ ((X + 15/26) ^ 2) + 2/7 #

De ontbrekende term aan het einde van de perfecte trinominale vierkant is # A ^ 2 #en dat weten we # A = 15/26 #, dus # A ^ 2 = 225/676 #.

Nu voegen we toe #225/676# naar de termen tussen haakjes. We kunnen echter niet steeds nummers toevoegen aan vergelijkingen. We moeten in evenwicht brengen wat we zojuist aan dezelfde kant van de vergelijking hebben toegevoegd. (Bijvoorbeeld als we hadden toegevoegd #2#, we zouden moeten toevoegen #-2# aan dezelfde kant van de vergelijking voor een netto verandering van #0#).

# Y = kleur (blauw) (- 13/7)? (X ^ 2 + 15 / + 13x kleur (blauw) (225/676)) + 2/7 + kleur (blauw) #

Merk op dat we niet echt hebben toegevoegd #225/676#. Omdat het binnen de haakjes ligt, wordt de term aan de buitenkant vermenigvuldigd. Dus, de #225/676# heeft eigenlijk een waarde van

# 225 / 676xx-13/7 = 225 / 52xx-1/7 = -225 / 364 #

Omdat we feitelijk hebben toegevoegd #-225/364#, we moeten een positief toevoegen #225/364# aan dezelfde kant.

# Y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 2/7 + 225/364 #

Let daar op #2/7=104/364#, dus

#color (rood) (y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Dit is in een vertex-vorm, waar de top van de parabool zich bevindt # (H, k) -> (- 15/26329/364) #.

We kunnen ons werk controleren door de parabool in een grafiek te zetten:

grafiek {7y = - 13x ^ 2 -15x + 2 -4.93, 4.934, -2.466, 2.466}

Let daar op #-15/26=-0.577# en #329/364=0.904#, wat de waarden zijn die worden verkregen door op de vertex te klikken.