Stel dat er m Martians & n Earthlings zijn tijdens een vredesconferentie. Om ervoor te zorgen dat de marsmannetjes vreedzaam blijven op de conferentie, moeten we ervoor zorgen dat er geen twee marsmannetjes bij elkaar zitten, zodat er tussen twee willekeurige marsmannetjes ten minste één aardbewoner zit (zie detail)

Antwoord:

een) # (N! (N + 1)!) / ((N-m + 1)!) #

b) # (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #

Uitleg:

Naast wat extra redenering zullen we drie gemeenschappelijke technieken gebruiken om te tellen.

Ten eerste zullen we gebruik maken van het feit dat als dat zo is # N # manieren om één ding te doen en # M # manieren om een ander te doen, en vervolgens aan te nemen dat de taken onafhankelijk zijn (wat je kunt doen voor iemand is niet afhankelijk van wat je in het andere hebt gedaan), er zijn # Nm # manieren om beide te doen. Als ik bijvoorbeeld vijf overhemden en drie broeken heb, dan zijn er dat wel #3*5=15# outfits die ik kan maken.

Ten tweede zullen we dat aantal manieren van bestellen gebruiken # K # objecten is #k #!. Dit komt omdat er zijn # K # manieren om het eerste object te kiezen en vervolgens # K-1 # manieren om de tweede te kiezen, enzovoort, enzovoort. Dus het totale aantal manieren is #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Ten slotte zullen we dat aantal manieren van kiezen gebruiken # K # objecten uit een reeks # N # objecten is # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (uitgesproken als n kies k). Een overzicht van hoe om te komen tot deze formule wordt hier gegeven.

a) Als we aanvankelijk de splitsingen buiten beschouwing laten, zijn dat er #m #! manieren om de marsmannetjes te bestellen en #n #! manieren om de aardbewoners te bestellen. Eindelijk moeten we zien waar de marsmannetjes zijn geplaatst. Zoals elke Mars moet worden geplaatst, hetzij aan het einde of tussen twee Aardbewoners, zijn er # N + 1 # locaties waar ze kunnen zitten (één aan de linkerkant van elke Aardling en dan nog een aan de rechterkant). Zoals er zijn # M # Marsmannetjes, dat betekent dat er zijn # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # mogelijke manieren om ze te plaatsen. Aldus is de totaal mogelijke plaatsingsregelingen

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Dit probleem is vergelijkbaar met het bovenstaande. Om dingen eenvoudiger te maken, laten we een Aardling kiezen en hem de president noemen. Omdat het niet uitmaakt hoe een cirkel wordt gedraaid, in plaats van te verwijzen naar zitplaatsen op basis van een absolute volgorde, zullen we stoelenafspraken maken op basis van hun relatie tot de president.

Net als hierboven, als we van de president uitgaan en met de klok mee rond de cirkel blijven, kunnen we het aantal manieren tellen om de resterende deelnemers te bestellen. Zoals er zijn # M # Marsmannetjes en # N-1 # overgebleven Aardbewoners, dat zijn er #m #! manieren om de marsmannetjes te bestellen en # (N-1)! # manieren om de resterende aardbewoners te bestellen.

Vervolgens moeten we de marsmannetjes opnieuw positioneren. Deze keer hebben we geen extra plek aan het einde, dus er zijn er alleen # N # locaties waar ze kunnen zitten. En dan zijn er # ((N), (m)) = (n!) / (M? (N-m)!) # manieren om ze te plaatsen. Aldus is de totaal mogelijke plaatsingsregelingen

# (N-1)! M! (N!) / (M? (N-m)!) = (N? (N-1)!) / ((N-m)!) #