Antwoord:
Uitleg:
Laat,
Integratie door delen gebruiken,
Tweede methode:
Hoe vind ik de integraal intln (2x + 1) dx?
Door substitutie en integratie door parts, int ln (2x + 1) dx = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Laten we enkele details bekijken. int ln (2x + 1) dx door de substitutie t = 2x + 1. Rightarrow {dt} / {dx} = 2 Rightarrow {dx} / {dt} = 1/2 Rightarrow dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt door Integration by Parts, Let u = ln t en dv = dt Rightarrow du = dt / t en v = t = 1/2 (tlnt-int dt) = 1/2 (tlnt-t) + C door uit te rekenen t, = 1 / 2t (lnt-1) + C door t = 2x + 1 terug in te zetten, = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C
Hoe vind ik de integraal int (ln (x)) ^ 2dx?
Ons doel is om de kracht van lnx te verminderen, zodat de integraal gemakkelijker te evalueren is. We kunnen dit bereiken door integratie door delen te gebruiken. Houd rekening met de IBP-formule: int u dv = uv - int v du Nu laten we u = (lnx) ^ 2 en dv = dx. Daarom is du = (2lnx) / x dx en v = x. Nu, samen de stukken samenvoegend, krijgen we: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Deze nieuwe integraal ziet er veel beter uit! Een beetje vereenvoudigen, en de constante naar voren brengen, levert op: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Nu, om van deze volgende integraal af te komen, zullen we een
Hoe vind ik de integraal intsin ^ -1 (x) dx?
Door integratie door delen, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C Laten we enkele details bekijken. Laat u = sin ^ {- 1} x en dv = dx. Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2} en v = x door integratie door delen, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2 } dx Laat u = 1-x ^ 2. Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / {- 2x} intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / {- 2x} = -1 / 2intu ^ {- 1/2} du = -u ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C Vandaar, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x {1 + sqrt-x ^ 2} + C