Wat is de reikwijdte van een matrix? + Voorbeeld

Antwoord:

Zie hieronder

Uitleg:

Een reeks vectoren omspant een spatie als elke andere vector in de ruimte kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de spanningset. Maar om tot de betekenis hiervan te komen, moeten we de matrix bekijken als gemaakt van kolomvectoren.

Hier is een voorbeeld in #mathcal R ^ 2 #:

Laat onze matrix #M = ((1,2), (3,5)) #

Dit heeft kolomvectoren: #((1),(3))# en #((2),(5))#, die lineair onafhankelijk zijn, dus de matrix is niet-singuliere dat wil zeggen, inverteerbaar, enz.

Laten we zeggen dat we willen laten zien dat het gegeneraliseerde punt # (X, y) # bevindt zich binnen de spanwijdte van deze 2 vectoren, dwz dat de matrix alles omvat #mathcal R ^ 2 #, dan proberen we dit op te lossen:

#alpha ((1), (3)) + beta ((2), (5)) = ((x), (y)) #

Of:

# ((1,2), (3,5)) ((alpha), (beta)) = ((x), (y)) #

Je kunt dit oplossen op een aantal manieren, bijv. Rij verminderen of M omdraaien ….. om te krijgen:

#alpha = - 5x + 2y, bèta = 3x - y #

Laten we zeggen dat we dat willen controleren #(2,3)# zit in de breedte van deze matrix, M, passen we het resultaat toe dat we net hebben gekregen:

#alpha = -4 #

#beta = 3 #

Dubbel Check:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Overweeg vervolgens een andere matrix: #M '= ((1,2), (2,4)) #. Dit is enkelvoud omdat zijn kolomvectoren, #((1),(2))# en #((2),(4))#, zijn lineair afhankelijk. Deze matrix loopt alleen langs de richting #((1),(2))#.