Laat G een groep zijn en H G.Probeer dat de enige juiste verzameling van H in G die een deelring van G is, H zelf is.

Antwoord:

Ervan uitgaande dat de vraag (zoals verduidelijkt door opmerkingen) is:

Laat # G # wees een groep en #H leq G #. Bewijs dat de enige juiste set van is # H # in # G # dat is een subgroep van # G # is # H # zelf.

Uitleg:

Laat # G # wees een groep en #H leq G #. Voor een element #g in G #, de juiste set van # H # in # G # is gedefinieerd als:

# => Hg = {hg: h in H} #

Laten we dat aannemen #Hg leq G #. Dan het identiteitselement #e in Hg #. Dat weten we echter noodzakelijkerwijs #e in H #.

Sinds # H # is een goede set en twee juiste cosets moeten identiek of disjunct zijn, we kunnen concluderen #H = Hg #

=================================================

Als dit niet duidelijk is, laten we dan een bewijs proberen dat symbolen elimineert.

Laat # G # wees een groep en laat # H # een subgroep zijn van # G #. Voor een element # G # behorend bij # G #, bel # Hg # de juiste set van # H # in # G #.

Laten we aannemen dat dat de juiste combinatie is # Hg # is een subgroep van # G #. Dan het identiteitselement # E # hoort bij # Hg #. We weten echter al dat het identiteitselement # E # hoort bij # H #.

Twee juiste cosets moeten identiek of disjunct zijn. Sinds # H # is een goede keuze, # Hg # is een goede combinatie, en beide bevatten # E #, ze kunnen niet gescheiden zijn. Vandaar, # H # en # Hg # moet identiek zijn, of #H = Hg #