Antwoord:
Oplossing: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) #
Uitleg:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # of
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # of
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # of
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # of
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0: # Een van beide
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 of (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # of
# cos (x / 2)! = 5/4 # sinds bereik van #cos x # is #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # of
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #
Ook #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53.13 * 2 ~~ 106.26 ^ 0 #
en # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #
Oplossing: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) # Ans
Antwoord:
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # geheel getal # K #
Uitleg:
Laten we beginnen door te vervangen # y = x / 2 # om zich van de gebroken hoeken te ontdoen.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
De favoriete vorm van de cosinus-formule met dubbele hoek is
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
substitueren, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
Dat is een pijnlijke factor, maar er komt een beetje onderzoek naar boven
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 of cos y = -5 / 4 #
We kunnen de cosinus buiten het bereik negeren.
#cos y = 3/5 #
We kunnen de formule met dubbele hoek gebruiken:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
Dat is een Pythagorean Triple #7^2+24^2=25^2# dus we kunnen proberen dat te schrijven als # arctan (pm 24/7) # maar dat is meer externe wortels.
# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # geheel getal # K #
Controleren:
We controleren een paar met een rekenmachine.
# x = tekst {Arc} tekst {cos} (- 7/25) approx 106.260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 keer 10 ^ {- 8} quad sqrt #
Laten we 360 toevoegen en opnieuw controleren:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15.6 quad # WERKT NIET.
Vanwege de halve hoek lijkt het juiste antwoord te zijn
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # geheel getal # K #
