Vraag # bfe81

Antwoord:

# (Ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

Uitleg:

We kennen de volgende Maclaurin-serie voor #ln (x + 1) #:

#ln (x + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ n = x-x ^ 2/2 + x ^ 3/3 … #

We kunnen een serie voor vinden #ln (x ^ 2 + 1) # door alle te vervangen #X#is met # X ^ 2 #:

#ln (x ^ 2 + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n #

Nu kunnen we gewoon delen door # X ^ 2 # om de serie te vinden die we zoeken:

# (Ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n) = #

# = Sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n * x ^ (2n) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = #

# = X ^ (2-2) -x ^ (2 * 2-2) / 2 + x ^ (3 * 2-2) / 3-x ^ (4 * 2/2) / 4 = … #

# = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

welke is de serie waar we naar op zoek waren.