Wat is de DeMoivre-stelling? + Voorbeeld

De Theorem expand van DeMoivre op de formule van Euler:

# E ^ (ix) = cosx + isinx #

De Theorem van DeMoivre zegt dat:

• # (E ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

Voorbeeld:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (Cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ ^ 2sin 2x #

Echter, # I ^ 2 = -1 #

# (Cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Oplossen voor echte en imaginaire delen van #X#:

# Cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

Vergelijken met #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Dit zijn de formules met de dubbele hoek voor # Cos # en #zonde#

Dit stelt ons in staat om uit te breiden #cos (nx) # of #sin (nx) # in termen van bevoegdheden van # Sinx # en # Cosx #

De DeMoivre-stelling kan verder worden uitgewerkt:

Gegeven # Z = cosx + isinx #

# Z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #

#Z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #

#Z ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #

# Z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# Z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) #

Dus, als je wilde uiten # Sin ^ nx # in termen van meerdere hoeken van # Sinx # en # Cosx #:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Expand en simpel, voer vervolgens waarden in voor # Z ^ n + z ^ (- n) # en # Z ^ n-z ^ (- n) # waar nodig.

Echter, als het erbij betrokken is # Cos ^ nx #, dan zou je doen # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # en volg dezelfde stappen.