Is dit een oplossing? welke optie is correct?

Dit wordt gemakkelijk gezien als niet te doen door elementaire middelen, dus ik heb het gewoon numeriek opgelost en kreeg:

Ik heb de integraal geëvalueerd voor #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Tegen die tijd was het duidelijk reikend #0.5#.

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

of

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Nu aangenomen dat een van de antwoorden waar is, lijkt de meest natuurlijke de vierde te zijn)

NOTITIE

voor #x in 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Antwoord:

#1/2#

Uitleg:

Zoals al is aangetoond in een eerdere oplossing, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

bestaat en is begrensd:

# 1/2 le I_n <1 #

Integratie door delen levert nu op

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n keer (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Nu, sinds # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # in #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

Sinds #lim_ (n to oo) I_n # bestaat, we hebben

#lim_ (n tot oo) J_n = lim_ (n tot oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n tot oo) 2 / (n + 2) keer lim_ (n tot oo) I_ (n + 2) = 0 #

Vandaar

# lim_ (n to oo) I_n = 1/2 #