Vraag # 69feb

Antwoord:

Normale lijn: # Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Raaklijn: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Uitleg:

Voor intuïtie: stel je voor dat de functie #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # beschrijft de hoogte van een bepaald terrein, waar #X# en # Y # zijn coördinaten in het vlak en #ln (y) # wordt verondersteld de natuurlijke logaritme te zijn. Dan allemaal # (X, y) # zoals dat #f (x, y) = a # (de hoogte) is gelijk aan een constante #een# worden niveaucurven genoemd. In ons geval de constante hoogte #een# is nul, sinds #f (x, y) = 0 #.

U bent wellicht bekend met topografische kaarten, waarbij de gesloten lijnen lijnen van gelijke hoogte aangeven.

Nu het verloop #grad f (x, y) = ((gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x), (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # geeft ons de richting op een bepaald moment # (X, y) # waarin #f (x, y) # (de hoogte) verandert het snelst. Dit is recht omhoog of recht de heuvel af, zolang ons terrein glad is (differentieerbaar), en we staan niet op een top, in een bodem of op een plateau (een extreem punt). Dit is in feite de normale richting naar een curve van constante hoogte, zodanig dat op # (X, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Daarom, de normale lijn in die richting doorgaan # (2, e ^ 2) # kan worden omschreven als

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, waar #s in mathbbR # is een echte parameter. Je kunt elimineren # S # uitdrukken # Y # als een functie van #X# als je dat liever hebt, te vinden

# Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Het directionele derivaat in de tangensrichting moet zijn #0# (wat betekent dat hoogte niet verandert), dus een raakvector # (U, v) # moet voldoen

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = e ^ 2u #, waar # Cdot # betekent het puntproduct. Zo # (u, v) = (1, e ^ 2) # is een geldige keuze. Daarom, de raaklijn doorgaan # (2, e ^ 2) # kan worden omschreven als

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t in mathbbR #.

Oplossen voor # Y # geeft dat

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Je zou dat eindelijk moeten controleren # (2, e ^ 2) # ligt op de curve #f (x, y) #, op de raaklijn en op de normale lijn.