Antwoord:
# "Er bestaat hier geen gemakkelijke factorisatie. Alleen een algemene methode" #
# "voor het oplossen van een kubieke vergelijking kan ons hier helpen." #
Uitleg:
# "We kunnen een methode toepassen die is gebaseerd op de vervanging van Vieta." #
# "Verdelen volgens de eerste coëfficiëntrendementen:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Substitutie" x = y + p "in" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "opbrengsten:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "als we" 3p + a = 0 "of" p = -a / 3 "nemen, de eerste coëfficiënt" # # "wordt nul en we krijgen:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(met" p = -2/3 ")" #
# "Vervang" y = qz "in" y ^ 3 + b y + c = 0 ", yields:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "als we" q = sqrt (| b | / 3) "nemen, wordt de coëfficiënt van z" #
# "3 of -3, en we krijgen:" #
# "(hier" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Vervangen" z = t + 1 / t ", opbrengsten:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Vervangen" u = t ^ 3 ", levert de kwadratische vergelijking op:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "De wortels van de kwadratische vergelijking zijn complex." #
# "Dit betekent dat we 3 echte wortels hebben in onze kubieke vergelijking." #
# "Een wortel van deze kwadratische vergelijking is" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "De variabelen substitueren, opbrengsten:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. # #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "De andere wortels kunnen worden gevonden door de" # te delen en op te lossen "# # "resterende kwadratische vergelijking." #
# "De andere wortels zijn echt: -3.87643981 en 0.61210551." #
Antwoord:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
waar:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Uitleg:
Gegeven:
# 2x ^ 3 + 4 x ^ 2-13x + 6 #
Merk op dat dit veel moeilijker factoriseert als er een typfout in de vraag is.
Bijvoorbeeld:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-kleuren (rood) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + kleur (rood) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Als de cubic correct is in de gegeven vorm, dan kunnen we de nullen en factoren als volgt vinden:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tschirnhaus-transformatie
Om de taak van het oplossen van de kubieke eenvoudiger te maken, maken we de kubieke eenvoudiger met behulp van een lineaire substitutie die bekend staat als een Tschirnhaus-transformatie.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1.712 #
# = T ^ 3-282t + 1.712 #
waar # T = (6x + 4) #
Goniometrische substitutie
Sinds #f (x) # heeft #3# echte nullen, de methode van Cardano en dergelijke resulteren in uitdrukkingen met onherleidbare kubuswortels van complexe getallen. Mijn voorkeur in dergelijke omstandigheden is om in plaats daarvan een trigonometrische substitutie te gebruiken.
Leggen:
#t = k cos theta #
waar #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Dan:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (wit) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (wit) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Zo:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Zo:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Zo:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Zo:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Welke geeft #3# verschillende nullen van de kubieke inch # T #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # voor #n = 0, 1, 2 #
Dan:
#x = 1/6 (t-4) #
Dus de drie nullen van de gegeven kubieke zijn:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
met geschatte waarden:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
