Vraag # 27939

Antwoord:

Zoals Sudip Sinha heeft opgemerkt # -1 + sqrt3i # is GEEN nul. (Ik verzuimde om dat te controleren.) De andere nullen zijn # 1-sqrt3 i # en #1#.

Uitleg:

Omdat alle coëfficiënten reële getallen zijn, moeten eventuele imaginaire nullen voorkomen in geconjugeerde paren.

daarom # 1-sqrt3 i # is een nul.

Als # C # is dan een nul # Z-c # is een factor, dus we kunnen vermenigvuldigen

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # te krijgen # Z ^ 2-2z + 4 #

en deel dan #P (z) # door dat kwadratische.

Maar het is sneller om de mogelijke rationele nul voor te stellen # P # eerste. Of voeg de coëfficiënten toe om dat te zien #1# is ook een nul.

Antwoord:

#1# en # 1 - sqrt3 i #

Uitleg:

Er is een fout opgetreden in uw vraag. De wortel zou moeten zijn # 1 + sqrt3 i #. U kunt dit verifiëren door de waarde in de uitdrukking te plaatsen. Als het een root is, moet de expressie naar nul worden geëvalueerd.

De expressie heeft alle reële coëfficiënten, dus door de Complex Conjugate Roots Theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), hebben we dat de andere complexe root is # 1 - sqrt3 i #, Het is duidelijk dat de derde wortel (zeg maar #een#) moet echt zijn, omdat het geen complex geconjugeerde kan zijn; anders zullen er 4 wortels zijn, wat niet mogelijk is voor een 3e-graads vergelijking.

Notitie

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Sinds # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

We zullen proberen deze factor in de uitdrukking te krijgen.

We kunnen schrijven:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Antwoord:

Als een intro denk ik dat de root zou moeten zijn #color (blauw) (1 + sqrt3) # en niet #color (rood) (- 1 + sqrt3) #

Op basis daarvan mijn antwoord is:

#z in {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Uitleg:

Door het idee van te gebruiken complexe conjugaten en nog een ander coole tricks.

#P (z) # is een polynoom van graad #3#. Dit impliceert dat het alleen zou moeten hebben #3# wortels.

Een interessant feit over complexe wortels is dat ze nooit alleen voorkomen. Ze komen altijd voor in geconjugeerde paren.

Dus indien # 1 + isqrt3 # is één wortel, dan is het geconjugeerde: # 1-isqrt3 # zeker ook een wortel!

En aangezien er nog maar één wortel meer is, kunnen we die root noemen # Z = a #.

Het is geen complex getal omdat complexe wortels altijd in paren voorkomen.

En aangezien dit de laatste is van de #3# wortels, er kan geen ander paar zijn na de eerste!

Uiteindelijk zijn de factoren van #P (z) # werden gemakkelijk gevonden te zijn # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "en" (z-a) #

NB: Merk op dat het verschil tussen een wortel en een factor is dat:

- Een wortel zou kunnen zijn # Z = 1 + i #

Maar de bijbehorende factor zou zijn # Z- (1 + i) #

De tweede truc is dat, door te factureren #P (z) # we zouden iets als dit moeten krijgen:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Breid vervolgens de accolades uit

#P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + z ^ 2 (A-2) + Z (2a + 4) 4a #

Vervolgens stellen we dit gelijk aan het oorspronkelijke polynoom #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => Z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + Z (-2a + 4) 4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Omdat de twee polynomen identiek zijn, stellen we de coëfficiënten van # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #en # Z ^ 0 #(de constante termijn) aan elke kant,

Eigenlijk hoeven we maar één vergelijking te kiezen en op te lossen #een#

Gelijk aan de constante voorwaarden, # => - 4a = -4 #

# => A = 1 #

Vandaar dat de laatste wortel is #color (blauw) (z = 1) #