Test f voor concaviteit?

Antwoord:

# F # is convex in # RR #

Uitleg:

Ik heb het opgelost denk ik.

# F # is 2 keer differentieerbaar in # RR # zo # F # en # F '# zijn continu in # RR #

Wij hebben # (F '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = x + e ^ cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Differentiëren van beide delen die we krijgen

# 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = x ^ e-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f (x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # zo #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f (x)) ^ 2 + 1)> 0) #

We hebben het teken van de teller nodig, dus we beschouwen een nieuwe functie

#G (x) = x ^ e-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , #X##in## RR #

#G '(x) = x ^ e-cosx + 6x #

Dat merken we #G '(0) = e ^ 0-cos0 * 0 + 6 = 1/1 + 0 = 0 #

Voor # X = π # #=># #G (π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Voor # X = -π # #G '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

We krijgen eindelijk deze tafel die de monotonie van laat zien # G #

vermeend # I_1 = (- oo, 0 # en # I_2 = 0, oo +) #

#G (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, oo +) #

#G (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, oo +) #

omdat

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | Sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1/2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Gebruik maken van de squeeze / sandwich-stelling die we hebben

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

daarom #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Met hetzelfde proces waar we uiteindelijk toe komen

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Echter, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

daarom #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Het bereik van # G # zal zijn:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) UUG (I_2) = 3, oo +) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # zo # G # heeft geen wortels in # RR #

  # G # is continu in # RR # en heeft geen oplossingen. daarom # G # bewaart inloggen # RR #

Dat betekent

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Dus, #G (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Als gevolg #G (x)> 0 #, #X##in## RR #

En #f '' (x)> 0 #, #X##in## RR #

#-># # F # is convex in # RR #

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Gegeven #y = f (x) # de krommekromtestraal wordt gegeven door

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # zo gegeven

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # wij hebben

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # of

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # of

# 1 / (f '' (1 + (f) ^ 2)) = 3 / (e ^ x ^ 3 + 3x aSiNx + 2) # of

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) #

nu analyseren #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # wij hebben

#min g (x) = 0 # voor #x in RR # zo #g (x) ge 0 # en dan de kromming in

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # verandert geen teken dus concluderen we dat #f (x) # het opschrift is bol # RR #