Wat is de veelvoud van de echte wortel van een vergelijking die één keer de x-as kruist / aanraakt?

Antwoord:

Een paar observaties …

Uitleg:

Let daar op #f (x) = x ^ 3 # heeft de eigenschappen:

• #f (x) # is van graad #3#

• De enige echte waarde van #X# waarvoor #f (x) = 0 # is # X = 0 #

Die twee eigenschappen alleen zijn niet voldoende om te bepalen dat de nul op # X = 0 # is van veelvoud #3#.

Overweeg bijvoorbeeld:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Let daar op:

• #G (x) # is van graad #3#

• De enige echte waarde van #X# waarvoor #g (x) = 0 # is # X = 0 #

Maar de veelvoud van de nul van #G (x) # op # X = 0 # is #1#.

Sommige dingen die we kunnen zeggen:

• Een polynoom van graad #n> 0 # heeft precies # N # complexe (mogelijk echte) nullen tellen multipliciteit. Dit is een gevolg van de fundamentele stelling van de algebra.

• #f (x) = 0 # alleen wanneer # X = 0 #maar toch is het van mate #3#, zo is het ook #3# nullen tellen multipliciteit.

• Daarom die nul op # X = 0 # moet van veelvoud zijn #3#.

Waarom is hetzelfde niet waar #G (x) #?

Het is van graad #3#, dus drie nullen, maar twee ervan zijn niet-reële complexe nullen, naam # + - i #.

Een andere manier om dit te bekijken is om dat waar te nemen # X = a # is een nul van #f (x) # als en alleen als # (X-a) # is een factor.

We vinden:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Dat is: # X = 0 # is een nul #3# keer voorbij.