Vraag # 35a7e

Antwoord:

Zoals vermeld in de reacties hieronder, is dit de MacLaurin-serie voor #f (x) = cos (x) #en we weten dat dit convergeert # (- oo, oo) #. Als u echter het proces wilt zien:

Uitleg:

Omdat we een faculteit in de noemer hebben, gebruiken we de verhoudings test, omdat dit de vereenvoudigingen een beetje eenvoudiger maakt. Deze formule is:

#lim_ (n> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Als dit <1 is, komt je serie samen

Als dit> 1 is, wijkt uw reeks af

Als dit = 1 is, is uw test niet doorslaggevend

Dus laten we dit doen:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2))) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Opmerking: wees heel voorzichtig over hoe u uw (k + 1) aansluit. 2k wordt 2 (k + 1), NIET 2k + 1.

Ik vermenigvuldigd met de omgekeerde van # X ^ (2k) / ((2k)!) # in plaats van te delen om het werk een beetje gemakkelijker te maken.

Nu, laten we algebra zijn. Vanwege de absolute waarde zijn onze alternatieve termen (d.w.z. # (- 1) ^ k #) gaan gewoon annuleren, omdat we altijd een positief antwoord zullen hebben:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

We kunnen onze annuleren # X ^ (2k) #'S:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Nu moeten we faculteiten annuleren.

Herhaal dat # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Ook, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Merk op:

# (2k)! = kleur (rood) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * kleur (rood) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Zoals je kunt zien, wij # (2k)! # is in wezen een deel van # (2k + 2)! #. We kunnen dit gebruiken om elke gebruikelijke term te annuleren:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Annuleren (kleur (rood) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * annuleren (kleur (rood) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Dit gaat weg

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Nu kunnen we deze limiet evalueren. Merk op dat we deze limiet niet nemen ten opzichte van #X#, we kunnen het uitfacteren:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Zoals u kunt zien, is deze limiet = 0, wat minder is dan 1. Nu vragen we ons af: is er enige waarde van #X# waarvoor deze limiet 1 zou zijn? En het antwoord is nee, want alles vermenigvuldigd met 0 is 0.

Dus sindsdien #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # voor alle waarden van #X#, we kunnen zeggen dat het een interval van convergentie van heeft # (- oo, oo) #.

Hoop dat het geholpen heeft:)