Wat is de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Kenmerkende vergelijking is:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OF" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "schijf van de quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "dus we hebben twee complexe oplossingen, ze zijn" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Dus de algemene oplossing van de homogene vergelijking is:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "De specifieke oplossing voor de complete vergelijking is" #

# "y = x," #

# "Dat is gemakkelijk te zien." #

# "Dus de complete oplossing is:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Antwoord:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Uitleg:

Wij hebben:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Of anders:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. EEN

Dit is een derde bestel lineaire niet-homogene differentievergelijking met constante coëfficiënten. De standaard aanpak is om een oplossing te vinden, # Y_c # van de homogene vergelijking door te kijken naar de hulpvergelijking, de polynoomvergelijking met de coëfficiënten van de afgeleiden, en vervolgens een onafhankelijke specifieke oplossing te vinden, # Y_p # van de niet-homogene vergelijking.

De wortels van de hulpvergelijking bepalen delen van de oplossing, die indien lineair onafhankelijk, de superpositie van de oplossingen de volledige algemene oplossing vormen.

• Echt verschillende wortels # m = alfa, bèta, … # zal lineair onafhankelijke oplossingen van de vorm opleveren # Y_1 = Ae ^ (Alphax) #, # Y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Echte herhaalde wortels # M = a #, zal een oplossing van de vorm opleveren # Y = (ax + b) e ^ (Alphax) # waar het polynoom dezelfde mate heeft als de herhaling.
• Complexe wortels (die moeten voorkomen als geconjugeerde paren) # M = p + -qi # levert een paar lineair onafhankelijke oplossingen van de vorm op # Y = e ^ (px) (Acos (Qx) + Bsin (Qx)) #

Bijzondere oplossing

Om een bepaalde oplossing van de niet-homogene vergelijking te vinden:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # met #f (x) = 4 # ….. C

dan als #f (x) # is een polynoom van graad #0#zouden we een polynomiale oplossing van dezelfde graad, d.w.z. van de vorm, zoeken #y = a #

Een dergelijke oplossing bestaat echter al in de CF-oplossing en moet dus een mogelijke oplossing van de vorm overwegen # Y = ax #, Waar de constanten #een# moet worden bepaald door directe vervanging en vergelijking:

Differentiëren # Y = ax # wrt #X# we krijgen:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Vervanging van deze resultaten in de DE A krijgen we:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

En dus vormen we de specifieke oplossing:

# y_p = x #

Algemene oplossing

Wat dan leidt tot de GS van A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Let op deze oplossing heeft #3# constanten van integratie en #3# lineair onafhankelijke oplossingen, dus door de Existence en Uniqueness Theorem hun superpositie is de algemene oplossing