Hoe identificeer je het type kegelsnede 4x ^ 2 + 8y ^ 2-8x-24 = 4 is, als er een is en als de vergelijking een kegelsnede vertegenwoordigt, geef dan het hoekpunt of het middelpunt aan?

Antwoord:

Een ellips

Conics kunnen worden weergegeven als

#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #

waar #p = {x, y} # en

#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.

Voor conics #m_ {12} = m_ {21} # dan # M # eigenwaarden zijn altijd reëel omdat de matrix symmetrisch is.

Het karakteristieke polynoom is

#p (lambda) lambda = ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) + lambda det (M) #

Afhankelijk van hun wortels, kan de kegelsnede worden geclassificeerd als

1) Gelijke --- cirkel

2) Hetzelfde teken en verschillende absolute waarden --- ellips

3) Tekens verschillend --- hyperbool

4) Een nul wortel - parabool

In het onderhavige geval hebben we

#M = ((4,0), (0,8)) #

met karakteristieke polynoom

# Lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #

met wortels #{4,8}# dus we hebben een ellips.

Omdat het een ellips is, is er een canonieke weergave voor

# ((X-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #

# X_0, y_0, a, b # kan als volgt worden bepaald

# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 voor alle x in RR #

geven

# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #

oplossen we krijgen

# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #

# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} equiv {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #