Hoe los je het systeem x ^ 2 + y ^ 2 = 9 en x-3y = 3 op?

Antwoord:

Er zijn twee oplossingen voor dit systeem: de punten #(3,0)# en #(-12/5, -9/5)#.

Uitleg:

Dit is een interessant systeem van vergelijkingen, omdat het meer dan één oplossing per variabele oplevert.

Waarom dit gebeurt, kunnen we nu analyseren. De eerste vergelijking is de standaardvorm voor een cirkel met straal #3#. De tweede is een enigszins rommelige vergelijking voor een regel. Opgeschoond, zou het er zo uitzien:

#y = 1/3 x - 1 #

Dus natuurlijk, als we bedenken dat een oplossing voor dit systeem een punt zal zijn waar de lijn en de cirkel elkaar kruisen, zouden we niet verrast moeten zijn om te horen dat er twee oplossingen zullen zijn. Eén wanneer de lijn de cirkel binnenkomt en een andere wanneer deze de cirkel verlaat. Zie deze grafiek:

grafiek {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Eerst beginnen we met het manipuleren van de tweede vergelijking:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3jj #

We kunnen dit direct in de eerste vergelijking invoegen om op te lossen # Y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10j ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Vanzelfsprekend heeft deze vergelijking twee oplossingen. Een voor #y = 0 # en een andere voor # 9 + 5y = 0 # wat betekent #y = -9 / 5 #.

Nu kunnen we oplossen voor de #X# bij elk van deze # Y # waarden.

Als # Y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Als #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Dus onze twee oplossingen zijn de punten: #(3,0)# en #(-12/5, -9/5)#. Als u terugkijkt naar de grafiek, kunt u zien dat deze duidelijk overeenkomen met de twee punten waarop de lijn de cirkel heeft gekruist.