Help me alsjeblieft hierin, hoe doe je dat?

Antwoord:

#k = 3 #

Uitleg:

Met behulp van de eigenschappen van exponenten dat # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # en # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, wij hebben

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Dus #13!# is deelbaar door # 24 ^ k # als en alleen als #13!# is deelbaar door # 2 ^ (3k) # en is deelbaar door # 3 ^ k #.

We kunnen de grootste kracht van vertellen #2# waardoor #13!# is deelbaar door als we kijken naar de factoren die deelbaar zijn door #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Als geen van de vreemde factoren bijdragen factoren van #2#, wij hebben

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

waar # M # is een geheel getal dat niet deelbaar is door #2#. Als zodanig weten we dat #13!# is deelbaar door # 2 ^ (3k) # als en alleen als #2^10# is deelbaar door # 2 ^ (3k) #, betekenis # 3k <= 10 #. Zoals # K # is een geheel getal, dit betekent #k <= 3 #.

Vervolgens kunnen we kijken naar welke factoren van #13!# zijn deelbaar door #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Als geen andere factoren van #13!# bijdragen factoren van #3#, dit betekent

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

waar # N # is een geheel getal dat niet deelbaar is door #3#. Als zodanig weten we dat #3^5# is deelbaar door # 3 ^ k #, betekenis #k <= 5 #.

Het grootste niet-negatieve gehele getal dat aan de beperkingen voldoet #k <= 3 # en #k <= 5 # is #3#, ons een antwoord geven van # K = 3 #.

Een rekenmachine zal dat verifiëren #(13!)/24^3 = 450450#, terwijl #(13!)/24^4=18768.75#