Antwoord:
Zie hieronder.
Uitleg:
De wortels voor
De wortels zullen samenvallend en reëel zijn als
of
Nu op te lossen
De voorwaarde voor complexe wortels is
nu maken
Tot slot, als
We krijgen de vergelijking:
# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #
heeft één echte root, daarom is de discriminant van deze vergelijking nul:
# Delta = 0 #
# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #
#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #
#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #
#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #
#:. (a-5b) (a-b) = 0 #
#:. a = b # of# a = 5b #
We proberen de vergelijking te laten zien:
# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #
heeft geen echte wortels. Dit zou een negatieve discriminant vereisen. De discriminant voor deze vergelijking is:
# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #
# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #
# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #
Laten we nu de twee mogelijke gevallen bekijken die voldoen aan de eerste vergelijking:
Zaak 1:
# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #
# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #
# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #
# = -4 #
# lt 0 #
Case 2:
# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #
# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #
# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #
# = -4 #
# lt 0 #
Daarom zijn de voorwaarden van de eerste vergelijking van dien aard dat de tweede vergelijking altijd een negatieve discriminant heeft en daarom complexe wortels heeft (dwz geen echte wortels), QED