Hoe vind je het gebied van een parallellogram met hoekpunten?

Antwoord:

Voor parallellogram # ABCD # het gebied is

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Uitleg:

Laten we aannemen dat ons parallellogram # ABCD # wordt gedefinieerd door de coördinaten van zijn vier hoekpunten - # X_A, ÿ_à #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

Om het gebied van ons parallellogram te bepalen, hebben we de lengte van de basis nodig # | AB | # en de hoogte # | DH | # van vertex # D # wijzen # H # aan kant # AB # (dat is, #DH_ | _AB #).

Allereerst, om de taak te vereenvoudigen, laten we hem verplaatsen naar een positie als zijn toppunt #EEN# samenvalt met de oorsprong van coördinaten. Het gebied zal hetzelfde zijn, maar berekeningen zullen eenvoudiger zijn.

Dus zullen we de volgende transformatie van coördinaten uitvoeren:

# U = x-x_A #

# V = Y-ÿ_à #

Dan de (# U, V #) De coördinaten van alle hoekpunten zijn:

#A ü_à = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-ÿ_à #

#C U_C = x_C-x_A, V_c = y_C-ÿ_à #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-ÿ_à #

Ons parallellogram wordt nu gedefinieerd door twee vectoren:

# P = (U_B, V_B) # en # Q = (U_D, V_D) #

Bepaal de lengte van de basis # AB # als de lengte van de vector # P #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

De lengte van de hoogte # | DH | # kan worden uitgedrukt als # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

De lengte #ADVERTENTIE# is de lengte van de vector # Q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Hoek #/_SLECHT# kan worden bepaald door twee expressies te gebruiken voor het scalaire (punt) product van vectoren # P # en # Q #:

# (P * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

van welke

# Cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# Sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Nu weten we alle componenten om het gebied te berekenen:

Baseren # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Hoogte # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | ü_à * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Het gebied is hun product:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

In termen van originele coördinaten ziet het er als volgt uit:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Antwoord:

nog een discussie

Uitleg:

Geometrisch bewijs

Gezien de figuur

we kunnen eenvoudig de formule bepalen voor de berekening van het gebied van een parallellogram ABCD, wanneer drie hoekpunten (zeg A, B, D) bekend zijn.

Omdat diagonale BD het parallellogram in twee congruente driehoek doorsnijdt.

Het gebied van het parallellogram ABCD

= 2 gebied van driehoek ABD

= 2 area of trapezium BAPQ + area of trap BQRD - gebied van trap DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + annuleren (Y_BX_B) -cancel (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + annuleren (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D-cancel (Y_DX_D) + annuleren (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Deze formule geeft het gebied van het parallellogram.

Bewijs overweegt de vector

Het kan ook worden vastgesteld in overweging #vec (AB) # en# vec (AD) #

Positie vector van punt A w.r, t de oorsprong O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Positie vector van punt B w.r, t de oorsprong O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Positie vector van punt D w.r, t de oorsprong O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Gebied van het parallellogram ABCD

# = Base (AD) * Hoogte (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | VEC (AD) Xvec (AB) | #

Nog een keer

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-ÿ_à) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-ÿ_à) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-ÿ_à) - (X_B-X_A) (Y_D-ÿ_à) hatk #

Gebied = # | Vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + annuleren (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-cancel (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Ÿ_à (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Dus we hebben dezelfde formule

De basis van een driehoek van een bepaald gebied varieert omgekeerd als de hoogte. Een driehoek heeft een basis van 18 cm en een hoogte van 10 cm. Hoe vind je de hoogte van een driehoek van hetzelfde oppervlak en met een basis van 15 cm?

Hoogte = 12 cm Het oppervlak van een driehoek kan worden bepaald met het vergelijkingsgebied = 1/2 * basis * hoogte Zoek het gebied van de eerste driehoek door de metingen van de driehoek in de vergelijking te plaatsen. Areatriangle = 1/2 * 18 * 10 = 90cm ^ 2 Laat de hoogte van de tweede driehoek = x. Dus de gebiedsvergelijking voor de tweede driehoek = 1/2 * 15 * x Aangezien de gebieden gelijk zijn, 90 = 1/2 * 15 * x Tijden beide zijden met 2. 180 = 15x x = 12

De omtrek van een vierkant is 12 cm groter dan dat van een ander vierkant. Het gebied overschrijdt het gebied van het andere plein met 39 vierkante cm. Hoe vind je de omtrek van elk vierkant?

32cm en 20cm laat kant van groter vierkant een kleiner vierkant zijn b 4a - 4b = 12 dus a - b = 3 a ^ 2 - b ^ 2 = 39 (a + b) (ab) = 39 delen de 2 vergelijkingen die we verkrijg een + b = 13 nu voeg je een + b en ab toe, we krijgen 2a = 16 a = 8 en b = 5 de omtrekken zijn 4a = 32cm en 4b = 20cm

Twee tegenovergestelde zijden van een parallellogram hebben lengtes van 3. Als één hoek van het parallellogram een hoek van pi / 12 heeft en het gebied van het parallellogram 14 is, hoe lang zijn dan de andere twee zijden?

Veronderstellend een beetje van fundamentele Trigonometry ... Laat x de (gemeenschappelijke) lengte van elke onbekende kant zijn. Als b = 3 de maat is van de basis van het parallellogram, laat h de verticale hoogte ervan zijn. Het gebied van het parallellogram is bh = 14 Omdat b bekend is, hebben we h = 14/3. Van basis Trig, sin (pi / 12) = h / x. We kunnen de exacte waarde van de sinus vinden door een formule met een halve of een andere hoek te gebruiken. sin (pi / 12) = sin (pi / 3 - pi / 4) = sin (pi / 3) cos (pi / 4) - cos (pi / 3) sin (pi / 4) = (sqrt6 - sqrt2) / 4. Dus ... (sqrt6 - sqrt2) / 4 = h / xx (sqrt6 - sqrt2)