Met behulp van http: //.org/questions/in-1-6-1-6666- herhaling van 6-is-called-repeatend-or-reptend-i-learn-from-https-en-w, hoe ontwerp je een reeks rationale getallen {x} die reptend zijn met miljoen cijfers?

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Laten we een stap verder gaan en een set ontwerpen die bevat elk rationeel nummer met een herhaling met #10^6# cijfers.

Waarschuwing: het volgende is sterk gegeneraliseerd en bevat enkele atypische constructies. Het kan verwarrend zijn voor studenten die niet helemaal op hun gemak zijn met het bouwen van sets.

Eerst willen we de set van onze herhalingen van lengte construeren #10^6#. Hoewel we kunnen beginnen met de set #{1, 2, …, 10^(10^6+1)-1}# die elk natuurlijk getal maximaal bevat #10^6# cijfers, we zouden een probleem tegenkomen. Sommige van deze herhalingen kunnen bijvoorbeeld worden weergegeven met kleinere reeksen # 0.bar (111 … 1) = 0.bar (1) #of # 0.bar (121212 … 12) = 0.bar (12) #. Om dit te voorkomen, definiëren we eerst een nieuwe term.

Overweeg een geheel getal #a in 1, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1 #. Laat # A_1a_2 … a_ (10 ^ 6) # wees a #10^6# cijferweergave van dat gehele getal, mogelijk met voorloop #0#s als #een# heeft minder dan #10^6# cijfers. We zullen bellen #een# nuttig als voor elke juiste deler # M # van #10^6#, #een# is niet van de vorm # a_1a_2 … a_ma_1a_2 … a_m "" … "" a_1a_2 … a_m #

Nu kunnen we onze reeks herhalingen maken.

Laat #A = {a in {1, 2, …, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1}: a "is handig"} #

Vervolgens stellen we onze reeks potentiële niet-herhalende eerste decimale cijfers samen. Houd er rekening mee dat dit ook leidend kan zijn #0#s, of bestaat volledig uit #0#s, we zullen onze nummers weergeven als tuples van de vorm # (k, b) #, waar # K # representeert de lengte van de reeks cijfers, en # B # zal de waarde vertegenwoordigen wanneer geëvalueerd als een geheel getal. Bijvoorbeeld de cijfers #00032# zou paren met de tuple #(5, 32)#.

Laat #B = (NNuu {0}) xx (NNuu {0}) #

Laten we tot slot onze integer portie aan de mix toevoegen. Merk op dat in tegenstelling tot de fractionele delen, we hier een account aanmaken en gebruiken # ZZ # in plaats van # NN #.

Laat #C = A xx B xx ZZ #. Dat is, # C # is de verzameling #3#-tuples # (a, (k, b), c) # zoals dat, #een# is een nuttig geheel getal met maximaal #10^6# cijfers, # (k, b) # staat voor a # K #een cijferreeks van cijfers waarvan de integraalwaarde is # B #, en # C # is een geheel getal.

Nu we sets hebben die alles omvatten wat mogelijk is #a, b, c # string met de gewenste eigenschappen, we zullen ze samenvoegen met behulp van het formulier dat is opgebouwd in de vraag waarnaar wordt verwezen.

#S: = {((10 ^ kc + b) (10 ^ (10 ^ 6) -1) + a) / (10 ^ k (10 ^ (10 ^ 6) -1)):(a, (k, b), c) in C} #

Dan #S subset QQ # is de set van rationale getallen met #10^6# aantal herhalingen.

Dankzij Sente is de theorie in zijn antwoord.

Voor een deelverzameling van het antwoord

# {x} = {I + M + (d_ (msd) ddd … dddd_ (lsd)) / (9999 … 9999)} #, #I in N # en M een juiste fractie van het m-cijfer van de vorm

geheel getal/# 10 ^ m #, #d_ (MSD) # is niet-nul meest significante cijfer. LSD

betekent het minst significante cijfer..

Opheldering:

Laat ik = 2, M =.209 / 1000 =.209, #d_ (lsd) = 7 en d_ (msd) = 3 #. In-

tussen d's zijn allemaal 0..

Dan.

#x = 2.209+ (7000 … 0003) / (9999 … 9999) #

# = 2.209 7000 … 0003 7000 … 0003 7000 … 0003 … ad infinitum.

Let op de verdeling door #10^100001-1=9999…9999#.

Zowel de teller als de noemer hebben hetzelfde aantal sd.

Sans msd d, d's kan het zijn #in {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} #.