Gebruik de a) en b) om te bewijzen hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Van wat je daar ook zegt, het lijkt erop dat we moeten doen om dat te laten zien #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Het lijkt erop dat de plaats waar je deze vraag vandaan hebt, verward is over de definitie van # HatT_L #.

We zullen uiteindelijk bewijzen dat gebruik

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

geeft

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

en niet #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Als we willen dat alles consistent is, dan als #hatT_L = e ^ (- LhatD) #het zou zo moeten zijn # hatD, hatx = bb (-1) #. Ik heb de vraag opgelost en heb dat al aangepakt.

Uit deel 1 hadden we aangetoond dat voor deze definitie (dat #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Sinds #f (x_0 - L) # is een eigentoestand van # HatT_L #, de onmiddellijke vorm die in je opkomt is een exponentiële operator # E ^ (LhatD) #. Dat begrijpen we #hatD = + ihatp_x // ℏ #en we zullen laten zien dat dat waar is.

Bedenk dat we in het in deel 1 getoonde bewijs hadden geschreven:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

en dat is waar we het zouden moeten gebruiken. Het enige wat we moeten doen is Taylor breidt uit de exponentiële operator en laten zien dat het bovenstaande bewijs nog steeds geldig is.

Dit wordt hier ook in lichte details getoond. Ik heb het uitgebreid om grondiger te zijn …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Geef dat # L # is een constante, we kunnen dat uit de commutator betrekken. # Hatx # kan ingaan zonder indexafhankelijk te zijn. daarom:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Nu hebben we dat voorgesteld #hatD = ihatp_x // ℏ #, en dat zou logisch zijn omdat we dat weten:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = annuleren (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

zodat # hatx, hatp_x = iℏ #. Het zou betekenen dat zolang #hatT_L = e ^ (LhatD) #, we kunnen eindelijk een consistente definitie krijgen over beide delen van het probleem en krijgen:

#color (blauw) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = kleur (blauw) (1) #

Hieruit breiden we de commutator verder uit:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Nu weten we het # hatx, hatp_x #, maar niet noodzakelijkerwijs # hatx, hatp_x ^ n #. Je kunt jezelf overtuigen

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

en dat

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

zodat:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {cancel (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - cancel (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Dat herkennen we # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Dus,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, verstrekt #n> = 1 #.

Hieruit vinden we:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

waar als je het evalueert #n = 0 # termijn, zou je moeten zien dat het nul wordt, dus we hebben het weggelaten. Verdergaand hebben we:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1) #

Hier proberen we gewoon om dit weer als de exponentiële functie te laten lijken.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(groepsvoorwaarden)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(evalueer de buitenkant)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(als # N # begint bij nul, de # (N-1) #deze term wordt de # N #de termijn.)

Als gevolg hiervan krijgen we eindelijk:

# => kleur (blauw) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = kleur (blauw) (- LhatT_L) #

En we gaan weer terug naar de oorspronkelijke commutator, d.w.z. dat

# hatx, hatT_L = -LhatT_L kleur (blauw) (sqrt "") #

Laten we tenslotte dat laten zien # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n !)) #

Als we dit expliciet beschrijven, kunnen we het vervolgens zien werken:

# = kleur (blauw) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = kleur (blauw) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

en sindsdien # HatD # pendelt altijd met zichzelf, # hatD ^ n, hatD = 0 # en daarom,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (blauw) (sqrt "") #