Wat is het orthocentrum van een driehoek met hoekpunten bij O (0,0), P (a, b) en Q (c, d) #?

Antwoord:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Uitleg:

Ik heb deze oude vraag gegeneraliseerd in plaats van een nieuwe vraag te stellen. Ik deed dit eerder voor een vraag van de circumcenter en er gebeurde niets slechts, dus ik ga door met de serie.

Net als eerder heb ik een hoekpunt geplaatst om de algebra traceerbaar te houden. Een willekeurige driehoek kan gemakkelijk worden vertaald en het resultaat kan gemakkelijk worden vertaald.

Het orthocenter is de kruising van de hoogten van een driehoek. Het bestaan ervan is gebaseerd op de stelling dat de hoogten van een driehoek elkaar kruisen op een punt. We zeggen dat de drie hoogten zijn gelijktijdig.

Laten we bewijzen dat de hoogten van driehoek OPQ gelijktijdig zijn.

De richtingsvector van kant OP is # P-O = P = (a, b), # dat is gewoon een mooie manier om te zeggen dat de helling is # B / a # (maar de richtingsvector werkt ook wanneer # A = 0 #). We krijgen de richtingsvector van de loodlijn door coördinaten te verwisselen en hier één te negeren # (B, -a). # Loodrecht wordt bevestigd door het nulpuntproduct:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

De parametrische vergelijking van de hoogte van OP naar Q is dus:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # echt # T #

De hoogte van OQ tot P is vergelijkbaar

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # echt # U #

De richtingsvector van PQ is # Q-P = (c-a, d-b) #. De loodlijn door de oorsprong, d.w.z. de hoogte van PQ, is dus

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # echt # V #

Laten we eens kijken naar de samenkomst van de hoogten van OP en PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Dat zijn twee vergelijkingen in twee onbekenden, # T # en # V #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

We zullen de eerste vermenigvuldigen met #een# en de tweede door # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Het toevoegen, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab-bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Erg cool met het puntproduct in de teller en het kruisproduct in de noemer.

De bijeenkomst is het veronderstelde orthocentrum # (X, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Laten we de ontmoetingen van de hoogten van OQ en PQ naast elkaar vinden. Door symmetrie kunnen we gewoon ruilen #een# met # C # en # B # met # D #. We bellen het resultaat # (X 'y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

We hebben deze twee kruispunten hetzelfde, # (x ', y') = (x, y), # dus we hebben bewezen dat de hoogten samenvallen. #quad sqrt #

We hebben de naam van het gemeenschappelijke kruispunt de orthocenter en we hebben de coördinaten gevonden.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #