Antwoord:
Komt overeen met # 1 + i # (op mijn grafische rekenmachine Ti-83)
Uitleg:
Laat # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
Ten eerste, aangenomen dat deze oneindige reeks convergeert (d.w.z. ervan uitgaande dat S bestaat en de waarde van een complex getal aanneemt), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
En als je oplost voor S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
en het toepassen van de kwadratische formule die je krijgt:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm i #
Gewoonlijk neemt de vierkantswortelfunctie de positieve waarde dus # S = 1 + i #
Dus als het convergeert, moet het convergeren naar # 1 + i #
Nu hoef je alleen maar te bewijzen dat het convergeert of als je lui bent zoals ik, dan kun je aansluiten # sqrt {-2} # in een rekenmachine die denkbeeldige getallen kan verwerken en de herhalingsrelatie kan gebruiken:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Ik herhaalde dit vele malen op mijn Ti - 83 en merkte dat het dichterbij komt, bijvoorbeeld nadat ik het ergens heb herhaald zoals 20 keer dat ik ongeveer
# 1,000694478 + 1.001394137i #
redelijk goede benadering
