Wat is het orthocentrum van een driehoek met hoeken op (4, 7), (8, 2) en (5, 6) #?

Antwoord:

Orthocentrum coördinaten #color (rood) (O (40, 34) #

Uitleg:

Helling van lijnsegment BC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

Helling van #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Vergelijking van hoogteverschillen door A en loodrecht op BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

Helling van lijnsegment AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

Helling van hoogte BE loodrecht op BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

Vergelijking van hoogte door B en loodrecht op AC

# y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Eqn (2)

Oplossen van Eqns (1), (2) we komen op de coördinaten van het orthocenter O

#x = 40, y = 34 #

Coördinaten van het orthocenter # O (40, 34) #

Verificatie:

Helling van #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

Vergelijking van hoogte CF

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Eqn (3)

Orthocentrum coördinaten # O (40, 34) #

Antwoord:

orthocenter: #(40,34)#

Uitleg:

Ik heb de semi-algemene casus hier uitgewerkt. (Http://socratic.org/questions/what-is-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -en-2-8)

De conclusie is het orthocentrum van de driehoek met hoekpunten # (A, b), # #(CD)# en #(0,0)# is

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Laten we het testen door het op deze driehoek toe te passen en het resultaat met het andere antwoord te vergelijken.

Eerst vertalen we (5, 6) naar de oorsprong, waarbij we de twee andere vertaalde hoekpunten geven:

# (A, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, -4) #

We passen de formule toe in de vertaalde ruimte:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4) = (35,28) #

Nu vertalen we terug voor ons resultaat:

orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

Dat komt overeen met het andere antwoord!