Wat is de lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) als x één na de rechterkant nadert?

# 1 / e #

# ^ X (1 / (1-x)) #:

grafiek {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Nou, dit zou veel gemakkelijker zijn als we gewoon de # Ln # van beide kanten. Sinds # ^ X (1 / (1-x)) # is continu in het open interval rechts van #1#, we kunnen stellen dat:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Sinds #ln (1) = 0 # en #(1 - 1) = 0#, dit is van de vorm #0/0# en de regel van L'Hopital is van toepassing:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

En uiteraard, # 1 / x # is continu van elke kant van #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Als gevolg hiervan is de oorspronkelijke limiet:

#color (blauw) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = kleur (blauw) (1 / e) #