Gebruik de Rationele nullen-stelling om de mogelijke nullen van de volgende polynomiale functie te vinden: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Antwoord:

Het mogelijke rationeel nullen zijn:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Uitleg:

Gegeven:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Door de rationele nulpuntstelling, alle rationale nullen van #f (x) # zijn zichtbaar in de vorm # P / q # voor gehele getallen #p, q # met # P # een deler van de constante term #-35# en # Q # een deler van de coëfficiënt #33# van de leidende term.

De delers van #-35# zijn:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

De delers van #33# zijn:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Dus de mogelijke rationale nullen zijn:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

of in oplopende volgorde van grootte:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Merk op dat dit alleen de rationele mogelijkheden zijn. Het rationele nulpuntsverschil vertelt ons niet over mogelijke irrationele of complexe nullen.

Gebruikmakend van Descartes 'Rule of Signs, kunnen we vaststellen dat deze cubic geen negatieve nullen en heeft #1# of #3# positieve echte nullen.

Dus de enige mogelijke rationale nullen zijn:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

We proberen elkaar om beurten, we vinden:

#f (1/11) = 33 (kleur (blauw) (1/11)) ^ 3-245 (kleur (blauw) (1/11)) ^ 2 + 407 (kleur (blauw) (1/11)) -35 #

#color (wit) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (wit) (f (1/11)) = 0 #

Zo # X = 1/11 # is een nul en # 11x-1 # een factor:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Om de resterende kwadratische factor te bepalen, kunnen we een AC-methode gebruiken:

Zoek een paar factoren van #AC = 3 * 35 = 105 # met som # B = 22 #

Het paar #15, 7# werken.

Gebruik dit paar om de middelste term te splitsen, dan factor door te groeperen:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (wit) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (wit) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Dus de andere twee nullen zijn:

# x = 7/3 "" # en # "" x = 5 #