Antwoord:
De curve van kruising kan worden geparametriseerd als # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
Uitleg:
Ik weet niet zeker wat je bedoelt met de vectorfunctie. Maar ik begrijp het dat je de curve van de kruising tussen de twee oppervlakken in de vraagstelling wilt weergeven.
Omdat de cilinder symmetrisch is rond de # Z # as, kan het gemakkelijker zijn om de curve in cilindrische coördinaten uit te drukken.
Wijzig naar cilindrische coördinaten:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# R # is de afstand tot de # Z # as en # Theta # is de hoek tegen de klok in van de #X# as in de # X, y # vlak.
Dan wordt het eerste oppervlak
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# R ^ 2 = 81 #
# R = 9 #, vanwege de trigonometrische identiteit van Pythagoras.
Het tweede oppervlak wordt
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
Uit de vergelijking van het eerste oppervlak hebben we geleerd dat de kruisende curve op een vierkante afstand moet liggen # R ^ 2 = 81 # vanaf het eerste oppervlak, dat gegeven
#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, een curve geparametriseerd door # Theta #. De laatste stap is een trigonometrische identiteit en gebeurt alleen vanuit persoonlijke voorkeur.
Uit deze uitdrukking zien we dat de curve inderdaad een curve is, omdat deze een vrijheidsgraad heeft.
Alles bij elkaar kunnen we de curve als beschrijven
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, wat een vectorwaardige functie is van een enkele variabele # Theta #.
Antwoord:
Zie hieronder.
Uitleg:
Gezien de kruising van
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z in RR):} #
met
# C_2-> z = x y #
of # C_1 nn C_2 #
wij hebben
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
nu op te lossen voor # X ^ 2 y ^ 2 # we krijgen de parametrische curven
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # of
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2 -4 z ^ 2)))):} #
die echt zijn voor
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Bijgevoegd een plot met de snijpuntcurve in rood (één blad).
