Wat is het orthocentrum van een driehoek met hoeken op (2, 6), (9, 1) en (5, 3) #?

Antwoord:

Het Orthocenter is #(-10,-18)#

Uitleg:

Het orthocenter van een driehoek is het snijpunt van de 3 hoogten van de driehoek.

De helling van het lijnsegment vanaf punt #(2,6)# naar #(9,1) # is:

# m_1 = (1-6) / (9-2) #

# m_1 = -5 / 7 #

De helling van de hoogte getrokken door dit lijnsegment zal loodrecht zijn, wat betekent dat de loodrechte helling zal zijn:

# p_1 = -1 / m_1 #

# p_1 = -1 / (- 5/7) #

# p_1 = 7/5 #

De hoogte moet door het punt gaan #(5,3)#

We kunnen het punt-hellingsformulier voor de vergelijking van een lijn gebruiken om de vergelijking voor de hoogte te schrijven:

#y = 7/5 (x-5) + 3 #

Vereenvoudig een beetje:

#y = 7 / 5x-4 "1" #

De helling van het lijnsegment vanaf punt #(2,6)# naar #(5,3) # is:

# m_2 = (3-6) / (5-2) #

# m_2 = -3 / 3 #

# m_2 = -1 #

De helling van de hoogte getrokken door dit lijnsegment zal loodrecht zijn, wat betekent dat de loodrechte helling zal zijn:

# p_2 = -1 / m_2 #

# p_2 = -1 / (- 1) #

# p_2 = 1 #

De hoogte moet door het punt gaan #(9,1)#

We kunnen het punt-hellingsformulier voor de vergelijking van een lijn gebruiken om de vergelijking voor de hoogte te schrijven:

#y = 1 (x-9) + 1 #

Vereenvoudig een beetje:

#y = x-8 "2" #

We zouden dit proces voor de derde hoogte kunnen herhalen, maar we hebben al voldoende informatie om het snijpunt te bepalen.

Stel de rechterkant van vergelijking 1 gelijk aan de rechterkant van vergelijking 2:

# 7 / 5x-4 = x-8 #

Los op voor de x-coördinaat van kruispunt:

# 2 / 5x = -4 #

#x = -10 #

Om de waarde van y te vinden, vervangt u -10 voor x in vergelijking 2:

#y = -10 - 8 #

#y = -18 #

Het Orthocenter is #(-10,-18)#