Antwoord:
De 3 wortels zijn # x = -3 / 2, 1, 3/2 #
Opmerking Ik kan het long division-symbool niet vinden, dus ik zal het vierkantswortelsymbool op zijn plaats gebruiken.
Uitleg:
#f (x) = 4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9 #
#f (1) = 4 * 1 ^ 3-4 * 1 ^ 2-9 * 1 + 9 = 4-4-9 + 9 = 0 #
Dit betekent dat x = 1 een wortel en is # (X-1) # is een factor van dit polynoom.
We moeten de andere factoren vinden, dit doen we door f (x) te delen door # (X-1) # om andere factoren te vinden.
# {4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9} / {x}-1 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
Sinds # (X * 4x ^ 2) = 4x ^ 3 # we krijgen # 4x ^ 2 # als een term in de factor
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
we moeten de rest vinden om te vinden wat er nog meer te vinden is.
wij doen # 4x ^ 2 * (x-1) = 4x ^ 3-4x ^ 2 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 3-4x ^ 2 #
We trekken dit af om 0 te krijgen
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ## # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 #
deze nul betekent dat er GEEN lineaire term is en we brengen de volgende termen naar beneden.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# X * = -9 -9x # dus de volgende term is #-9#
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x -9 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# -9 * (x-1) = - 9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x -9 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (- 9x + 9)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x -9 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (- 9x + 9)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #0#
Zo # (x-1) (4x ^ 2 -9) # zonder herinnering (je kunt dit controleren door de uitbreiding uit te voeren). We moeten dit volledig in aanmerking nemen.
# (4x ^ 2 -9) # is een verschil van vierkanten met factoren # (2x-3) * (2x + 3) #
Wij hebben # (x-1) * (2x-3) * (2x + 3) = 0 #
# 2x-3 = 0 # geeft ons een root op # X = 3/2 # en # 2x + 3 = 0 # geeft ons een root op # X = -3/2 #
De wortels zijn # x = -3 / 2, 1, 3/2 #
