Antwoord:
# V = 16 / 15pi ~~ 3,35103 #
Uitleg:
Het gebied is de oplossing van dit systeem:
# {(Y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #
En het is geschetst in deze plot:
De formule voor het volume van een rotatie-vaste stof met de x-as is:
# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.
Om de formule toe te passen, zouden we de halve maan op de x-as moeten vertalen, het gebied zal niet veranderen en dus zal het ook het volume niet veranderen:
# Y = -x ^ 2 + 2x + 3color (rood) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #
# Y = 3color (rood) (- 3) = 0 #
Op deze manier verkrijgen we #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.
Het vertaalde gebied is nu hier geplot:
Maar welke zijn de a en b van de integraal? De oplossingen van het systeem:
# {(Y = -x ^ 2 + 2 x), (y = 0)} #
Zo # a = 0 en b = 2 #.
Laten we de integraal herschrijven en oplossen:
# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #
# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #
# V = pi * z ^ 5 / 5- (4Z ^ 4) / 4 + (4Z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * z ^ 05/05-z ^ 4 + (4Z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #
# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = 16 / 15pi ~~ 3,35103 #
En deze "citroen" is de verkregen vaste stof:
